中心极限定理

中心极限定理是概率论中的一组定理。中心极限定理说明，大量相互独立的随机变量，其均值的分布以正态分布为极限。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从正态分布的条件。

中心极限定理有着有趣的历史。这个定理的第一版被法国数学家棣莫弗发现，他在1733年发表的卓越论文中使用正态分布去估计大量抛掷硬币出现正面次数的分布。这个超越时代的成果险些被历史遗忘，所幸著名法国数学家拉普拉斯在1812年发表的巨著 Théorie Analytique des Probabilités中拯救了这个默默无名的理论。

拉普拉斯扩展了棣莫弗的理论，指出二项分布可用正态分布逼近。但同棣莫弗一样，拉普拉斯的发现在当时并未引起很大反响。直到十九世纪末中心极限定理的重要性才被世人所知。1901年，俄国数学家里雅普诺夫用更普通的随机变量定义中心极限定理并在数学上进行了精确的证明。如今，中心极限定理被认为是(非正式地)概率论中的首席定理。

中心极限定理动态演示

• 均匀分布上的中心极限定理演示代码

set.seed(123)
u=runif(10000)
u=matrix(u,nc=10)
m=apply(u,1,mean)
summary(m)
var(m)
sd(m)
hist(m,main="样本均值n=10的抽样分布",prob=T)
x <- seq(0.2,0.8,by=0.01)
lines(x,dnorm(x,0.5,sqrt(1/120)))

• 利用核密度估计进行中心极限定理的拟合

set.seed(123)
u=runif(10000)
u=matrix(u,nc=10)
m=apply(u,1,mean)
summary(m)
var(m)
sd(m)
hist(m,main="样本均值n=10的抽样分布",prob=T)
x <- seq(0.2,0.8,by=0.01)
lines(x,dnorm(x,0.5,sqrt(1/120)))

• 利用中心极限定理进行计算的一些算例

(4*qnorm(0.975))^2
0.05/qnorm(0.95)
32.9^2*0.25
1-pnorm(5/sqrt(2))
pnorm(4/10/sqrt(0.82))+pnorm(26/10/sqrt(0.82))-1
dnorm(0)
qnorm(0.95)
1.145*40*sqrt(48)/9
35.25686^2