二进制浮点数的精度丢失问题

二进制浮点数的精度丢失问题

• 二进制浮点数介绍
• 丢失精度的情况1
• 还有一种丢失精度的情况

二进制浮点数介绍

二进制组成部分

二进制对应的：

名称	解释
符号位	1位正数 0位负数
指数位	到0~255 一共8位 映射到 -126～127 0和255（有特殊用途 NAN和无穷大小的判断）
有效位	一共23位

丢失精度的情况1

十进制数0.3+0.6，因为计算机都是先转换成二进制进行计算，所以我们先把0.3和0.6转换成二进制
这里我们直接用转换工具

0.3的二进制数：

乘二进位决定二进制为为 0或1，小数部分乘以2，大于1则二进制位为1，反之为0。
例：有效数字小数部分转化是0.3×2进制位为1，如果小于1，则二进制位为0，比如0.3×2等于0.6那么第一位就为0，0.6×2=1.2，那么第二位二进制位就为1，然后1.2的小数部分0.2×2又是0，所以第三位二进制位为0… 前三位010
和上面的0.010匹配，有兴趣可以自行计算下去，当然这个计算不可能算完的，因为只要小数部分为0.6，又回到起点，所以这是个无线循环乘法，所以丢失精度是自然的。

因为浮点数的有效长度是23位，所以有效长度为

0.01001100110011001100110

其中0.我们可以忽略掉

下面我们来看0.6的二进制表示

名称	解释
0.6*2=1.2	1
0.2*2=0.4	0
0.4*2=0.8	0
0.8*2=1.6	1
0.6*2=1.2	1

对应了上面的0.10011 ~10011 其中前头的0.我们可以忽略掉 ，只是表示这个是小数
有效位是23位

0.10011001100110011001100

0.3+0.6结果：

二进制形式：

十进制形式：

我们可以看出0.3+0.6等于=0.899999999…

我们再来看一组数据0.3+0.4

0.3我们就不进行二进制分析了。和上面一样
我们来分析0.4转二进制

名称	解释
0.4*2=0.8	0
0.8*2=1.6	1
0.6*2=1.2	1
0.2*2=0.4	0
0.4*2=0.8	0

对应了上面的0.01100 ~01100 其中前头的0.我们可以忽略掉 ，只是表示这个是小数,后面的数值可以自行计算

0.4的23位有效二进制如下图

0.01100110011001100110011

此时我们把0.3和0.4 二进制进行相加

我们将0.3与0.4进行 的二进制进行相加


为什么一个是0.7000一个是6.9999 开头的
很明显有问题，经过测试发现是0.3的二进制没有保留位数（二进制保留）即将第二十四位如果为1则直接向前进1（大部分情况是这样），因为0.3的第24位是1，所以0.3转二进制实际为

0.01001100110011001100111

再和0.4相加的结果

和上面的0.7000000（0.7000000476837158）四舍五入得到。

还有一种丢失精度的情况

我们知道浮点数有效位数为23位，如果两个数相加，或者一个数的有效位超过了23位，那么超过23位的精度将全部丢失

20000000转2进制，如图 位数一共有25位，最后两位作为科学计数法被抹去了，如果我们此时+1，是不是在

1001100010010110100000000 +1呢？

答案很明确。但是+1没效果，因为一共25位，只会保留23位，但是如果我们+2或者3就有效果了

加2和3有效果：
效果不如意，因为+2和3会发生进位，第24位为1会进位。有效果是有效果，但是数据可能偏差大


下面这个算法能解决精度丢失的问题
Kahan Summation算法

public class KahanSummation {
  public static void main(String[] args) {
    float sum = 0.0f;
    float c = 0.0f;
    for (int i = 0; i < 20000000; i++) {
    	float x = 1.0f;
    	float y = x - c;
    	float t = sum + y;
    	c = (t-sum)-y;
    	sum = t;    	
    }
    System.out.println("sum is " + sum);   
  }	
}

综上所述：浮点数用于一些不需要很准确的计算。如果涉及到钱等一些数据可以用bigdecimal，数据库用decimal(12,2)函数。