优先队列之二项队列(JAVA实现)

一、定义

1.二项树

• 堆性：每个结点都比它的左右子树中结点要小（小顶堆）
• 高度为 k 的二项树B(k)通过将一棵二项树B(k-1)附到另一棵二项树B(k-1)的根上构成。而B(k-1)又可以由B(k-2)附到另一棵B(k-2)的二项树上，故：B(k)是由一个根节点和B(0)、B(1)、B(2)….B(k-1)组成的。

如下是二项树B(0),B(1),B(2),B(3),B(4).

图1-1

2.二项队列

• 二项队列不是一棵树，它是一个森林，一个由一组二项树组成的深林。
• 二项队列中的树高度不同，一个高度至多存在一棵二项树。将高度为0的二项树记为 B(0)，高度为 k 的二项树记为 B(k)。即：也就是说，对于k>=0，二项队列中至多存在一棵 B(k)的二项树。
• 具有N个结点的二项队列最多有 logN 棵二项树。

每棵二项树B(k)中含有2^k个结点。故：
2^0 + 2^1 + 2^2 + .... + 2^k = N，得到 k=logN(k为树的棵数)。注意到上面提到的是“**最多**” 有logN 棵二项树，这说明一个二项队列可以缺少某棵 B(i) , 0<=i<=k

• 由于二项树中结点个数的性质(B(k)有2^k个结点)，而二项队列又是若干二项树的集合，故二项队列可以采用二进制数来标记：

如，大小为13(共有13个结点)的二项队列可以用森林 B(3)、B(2)、B(0)表示，并可以把这种表示写成 1101，1101以二进制形式表示13，而且还表示了该二项队列中，不存在B(1)这样的树。

二、二项队列的存储结构

二项队列是存储于一个一维数组中，该数组中的每个元素存储一棵二项树的根结点指针。具体存储方式如下图(源于网上)

图2-1
该存储方式的特点：

1. 最右边的那个数组元素存储了一颗高度为0的二项树B(0)。B(0)只有一个结点，该结点的权值为13。如果数组的长度表示二进制的位数，那么这个二项队列表示为 00001101。这说明该二项队列不存在高度为7、6、5、4、1 这样的二项树：B(7)、B(６)、B(５)、B(４)、B(1)。
2. 二项树在数组中存储是按高度排序的。
3. 数组第 i 号索引处，存储的是高度为 i 的二项树。如，第0号索引，存储高度为0的二项树，该二项树只有一个结点，结点权值为13
4. 二项树的采用的是链表表示，这里采用的是“左孩子右兄弟”表示法。(具体表示如下图描述的是B(4)采用左孩子右兄弟表示法)
   
   图2-2

三、实现思路

1.合并(merge)
假设需要合并二项队列H1和H2，合并后的结果为H3。合并两个二项队列的过程如下：

• a.寻找H1和H2中高度相同的二项树，合并这两颗二项树
• b.重复 a) 直至树中不再有高度相同的二项树为止。
• c.形成了新的二项队列H3

下图(图片源自网上)直观描述了H1和H2合并成H3’的过程。

图3-1
下图(图片源自网上)展示将两个相同高度的二项树合并的过程。

图3-2
具体分析：
在merge的过程中，可细分为8种情况(入下表3-3)
下图中，carry表示上一步合并二项树过程上，生成的一棵新二项树。rhs代表需要合并的二项数，this代表被合并的二项树。三者任意存在，故有八种情况。为简化代码，将八种情况使用二进制如下表示(其中0代表不存在，1代表存在)。sum表示二进制代表的数字，用于区分不同情况。

case	carry	rhs	this	sum	describe
1	0	0	0	0	都不存在
2	0	0	1	1	只有this存在
3	0	1	0	2	只有rhs存在
4	0	1	1	3	rhs和this存在
5	1	0	0	4	只有carry存在
6	1	0	1	5	只有carry和this存在
7	1	1	0	6	只有carry和rhs存在
8	1	1	1	7	都存在

表3-3

用上表详细解释图3-1的例子(H1合并到H2上):

• a.高度为0 H1的B(0)为null,H2的B(0)不为null，即rhs为null,this不为null，对应情形2(sum为1)，合并之后为B(0)
• b.高度为1 H1和H2的B(1)都不为null，即rhs和this都不为null，对应情形4(sum为3),合并为一颗新的B(2)
• c.高度为2 H1的B(2)为null,H2的B(2)不为null,carry不为null(上一步合成的B(2));即rhs为null,this和carry不为null，对应情形6(sum为5)，合并为一颗新的B(3)

2.插入
插入就是将插入的节点当作B(0)的一种合并。虽然感觉插入的时间复杂度是O(logN)，但是实际是O(1)，因为有一定的概率是被插入的二项队列没有B0

3.删除最小值

• 每一个二项树的最小值为根节点，故先在根节点处找到最小值，设为B(k)。
• 删除B(i)的根，得到若干棵二项树:B(0)、B(1)…B(k-1)。这些二项树组成一个新的二项队列 H”
• 原来的二项队列，删除B(i)这棵根的权值最小的二项树后，得到的新的二项队列 H’

• 合并 H” 和 H’ 即可

  每一个过程的时间复杂度为O(logN)。故加起来的时间复杂度仍为O(logN)。

四、代码实现

/**
 * Created by pengqiao on 2017/6/20.
 */
public class BinomialQueue<T extends Comparable> {
    /**
     * 二项树 采取左儿子右兄弟的记录方式
     */
    static class BinNode<T> {
        private T element;//元素
        private BinNode<T> leftChild;//左二子
        private BinNode<T> nextSibling;//兄弟

        public BinNode(T element) {
            this(element, null, null);
        }

        public BinNode(T element, BinNode<T> lt, BinNode<T> ns) {
            this.element = element;
            this.leftChild = lt;
            this.nextSibling = ns;
        }
    }

    private static final int DEAFULT_TREES = 1;//默认二项树的个数
    private int currentSize;//数组内的元素
    private BinNode<T>[] arrayTrees;//存放二项树的数组

    /**
     * 构造器
     */
    public BinomialQueue() {
        arrayTrees = new BinNode[DEAFULT_TREES];
    }

    public BinomialQueue(T x) {
        currentSize = 1;
        arrayTrees = new BinNode[1];
        arrayTrees[0] = new BinNode<>(x);
    }

    /**
     * 二项队列是否为空
     *
     * @return
     */
    public boolean isEmpty() {
        return currentSize == 0;
    }

    /**
     * 二项队列置空
     */
    public void makeEmpty() {
        this.currentSize = 0;
        for (BinNode bn : arrayTrees) {
            bn = null;
        }
    }

    /**
     * 二项队列的合并
     *
     * @param rhs（需要合并的二项队列）
     */
    public void merge(BinomialQueue rhs) {
        if (rhs == this) {//避免传入失误，合并自己
            return;
        }
        currentSize += rhs.currentSize;
        if (currentSize > capacity()) {//当前容量大于最大容量，扩容(数组长度+1)
            int newNumTrees = Math.max(this.arrayTrees.length, rhs.arrayTrees.length) + 1;
            expandTheTrees(newNumTrees);
        }
        BinNode<T> carry = null;
        for (int i = 0, j = 1; j <= currentSize; i++, j *= 2) {//使用j来控制是否结束
            BinNode<T> t1 = arrayTrees[i];//this二项树
            BinNode<T> t2 = i < rhs.arrayTrees.length ? rhs.arrayTrees[i] : null;//rhs二项树

            int whichCase = (t1 == null ? 0 : 1);
            whichCase += (t2 == null ? 0 : 2);
            whichCase += (carry == null ? 0 : 4);
            switch (whichCase) {
                case 0://this,rhs,carry都为空
                    break;
                case 1://只有this二项树
                    break;
                case 2://只有rhs二项树
                    arrayTrees[i] = t2;
                    rhs.arrayTrees[i] = null;
                    break;
                case 3://只有rhs和this二项树
                    carry = combinTrees(t1, t2);//二项树升级,不放在本节点，放在carry等待处理下个节点时处理
                    this.arrayTrees[i] = rhs.arrayTrees[i] = null;
                    break;
                case 4://只有carry二项树
                    this.arrayTrees[i] = carry;
                    carry = null;
                    break;
                case 5://只有carry和this二项树
                    carry = combinTrees(t1, carry);
                    this.arrayTrees[i] = null;
                    break;
                case 6://只有carry和rhs二项树
                    carry = combinTrees(t2, carry);
                    rhs.arrayTrees[i] = null;
                    break;
                case 7://有this,rhs和carry二项树
                    this.arrayTrees[i] = carry;
                    carry = combinTrees(t1, t2);
                    rhs.arrayTrees[i] = null;
                    break;
            }
        }
        //将rhs置空
        rhs.makeEmpty();
    }

    /**
     * 插入元素
     *
     * @param x
     */
    public void insert(T x) {
        merge(new BinomialQueue(x));
    }

    /**
     * 查找最小元素
     *
     * @return 最小元素
     */
    public T findMin() {
        return arrayTrees[findMinIndex()].element;
    }

    /**
     * 删除最小元素
     *
     * @return 最小元素
     */
    public T deleteMin() {
        if (isEmpty()) {
            System.out.println("BinomialQueue is empty");
        }
        int minIndex = findMinIndex();
        T minElement = arrayTrees[minIndex].element;//最小元素

        //将最小元素所在的二项树删除根节点，形成新的二项队列
        BinNode<T> delete = arrayTrees[minIndex].leftChild;//最小元素所在的二项树删除根节点之后的树
        BinomialQueue newBinomialQueue = new BinomialQueue();//新的二项队列
        newBinomialQueue.expandTheTrees(minIndex + 1);//新的二项队列的数组大小(B(k)分解为b(0),B(1),……B(k-1))
        newBinomialQueue.currentSize = (1 << minIndex) - 1;
        //下述循环内由于未使用中间变量，是指针指向，不可调换顺序
        for (int i = minIndex - 1; i >= 0; i--) {
            newBinomialQueue.arrayTrees[i] = delete;
            delete = delete.nextSibling;
            newBinomialQueue.arrayTrees[i].nextSibling = null;
        }
        //原有的二项队列删除最小元素所在的二项树
        arrayTrees[minIndex] = null;
        currentSize = currentSize - newBinomialQueue.currentSize;
        //进行合并
        merge(newBinomialQueue);
        return minElement;
    }

    /**
     * 更新数组长度
     *
     * @param newNumTrees 新数组的长度
     */
    private void expandTheTrees(int newNumTrees) {
        BinNode<T>[] newTrees = new BinNode[newNumTrees];
        for (int i = 0; i < Math.min(arrayTrees.length, newNumTrees); i++) {
            newTrees[i] = arrayTrees[i];
        }
        arrayTrees = newTrees;
    }

    /**
     * 合并两颗相同高度的二项树(t1的根<=t2的根)
     *
     * @param t1
     * @param t2
     * @return
     */
    private BinNode<T> combinTrees(BinNode<T> t1, BinNode<T> t2) {
        if (t1.element.compareTo(t2.element) > 0)
            return combinTrees(t2, t1);
        t2.nextSibling = t1.leftChild;
        t1.leftChild = t2;
        return t1;
    }

    /**
     * 容量(该二项队列最大容量 2^k-1 k为数组长度)
     *
     * @return
     */
    private int capacity() {
        return (1 << arrayTrees.length) - 1;
    }

    /**
     * 查找最小元素所在数组的下标
     *
     * @return
     */
    private int findMinIndex() {
        int min = 0;
        for (; arrayTrees[min] == null; min++) {//找出数组中第一个不为null的下标
            ;
        }
        for (int i = min; i < arrayTrees.length; i++) {//找出最小值
            if (arrayTrees[i] != null && arrayTrees[min].element.compareTo(arrayTrees[i].element) > 0) {
                min = i;
            }
        }
        return min;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int numItems = 10000;
        BinomialQueue<Integer> h = new BinomialQueue<>();
        BinomialQueue<Integer> h1 = new BinomialQueue<>();
        int i = 37;
        System.out.println("Starting check.");
        for (i = 37; i != 0; i = (i + 37) % numItems)
            if (i % 2 == 0)
                h1.insert(i);
            else
                h.insert(i);

        h.merge(h1);
        for (i = 1; i < numItems; i++)
            if (h.deleteMin() != i)
                System.out.println("Oops! " + i);
        System.out.println("Check done.");
    }
}