稀疏矩阵

C++ 矩阵操作

假设我们需要操作一个 N*M 的矩阵。为了简单，我们使用 int 类型进行说明。在实际编码中，肯定是需要使用 STL template。

矩阵的存储

静态存储

const int MAXN=1e5;    //定义矩阵最大行数
const int MAXM=1e5;    //定义矩阵最大列数
int array[MAXN][MAXM]; //定义矩阵

使用指针

使用指针包括两部分代码。一部分是内存申请，另外一部分是内存释放。

内存申请

int **array;//指向指针的指针，表示一个二维数组
array=new int *[n];//申请行
for (int i=0; i<n; i++) {
    array[i]=new int[m];//申请列
}

内存释放

for (int i=0; i<n; i++) {
    delete[] array[i];//释放列
}
delete[] array;//释放行

使用 STL 的 vector

vector<vector<int> > array(m); //这个m一定不能少

空间复杂度

从上面的 C++ 代码，我们可以非常明显的知道，矩阵的空间复杂度为 O(N*M)，也就是 O(N^2)。

矩阵的遍历

我们知道一个 N*M 的矩阵，如果使用最基础的 C++ 程序实现，就是一个两重循环的遍历。代码如下

for (int i=0; i<n; i++) {
    for (int j=0; j<m; j++) {
        cout<<array[i][j];
    }
}

时间复杂度

从上面的 C++ 代码，我们可以非常明显的知道，矩阵的时间复杂度为 O(N*M)，也就是 O(N^2)。

稀疏矩阵定义

在矩阵中，若数值为0的元素数目远远多于非0元素的数目，并且非0元素分布没有规律时，则称该矩阵为稀疏矩阵。如下图所示的 15*15 矩阵就是稀疏矩阵。

为什么要研究稀疏矩阵

从上面的内容，我们可以看到，一个满阵，它的时间复杂度和空间复杂度都是非常大的。尤其在数学研究的时候，维度 N 可能会趋向无穷大。

大型稀疏矩阵在计算科学以及工程应用中往往应用于求解 PDE（偏微分方程）。

因此，研究稀疏矩阵是数值计算，科学搬砖中必不可少的内容。其实这是一个造*的过程，只是为了加深对矩阵的理解。

稀疏矩阵存储

由于稀疏矩阵的特性，我们不需要使用满阵进行存储。

Coordinate Format（COO）

COO 是一种坐标形式的稀疏矩阵。采用三个数组 row、col 和 data 保存非零元素的信息，这三个数组的长度相同。row 数组保存元素的行，col 数组保存元素的列，data 数组保存元素的值。

存储的主要优点是灵活、简单，仅存储非零元素以及每个非零元素的坐标。但是 COO 不支持元素的存取和增删，一旦创建之后，除了将之转换成其它格式的矩阵，几乎无法对其做任何操作和矩阵运算。

对应的 C++ 代码如下：

int row[] ={0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3};
int col[] ={0, 1, 1, 2, 0, 2, 3, 1, 3};
int data[]={1, 7, 2, 8, 5, 3, 9, 6, 4};

我们可以看到 COO 在保存的列中有重复，还不是最节约的方式。

Compressed Sparse Row Format（CSR）

行压缩，是按行存储一个稀疏矩阵的方式。需要三类数据来表达：数值，列号，以及行偏移。CSR 不是三元组，而是整体的编码方式。数值和列号与 COO 一致，表示一个元素以及其列号，行偏移表示某一行的第一个元素在 values 里面的起始偏移位置。

如上图中，第一行元素 1 是 0 偏移，第二行元素 2 是 2 偏移，第三行元素 5 是 4 偏移，第 4 行元素 6 是 7 偏移。在行偏移的最后补上矩阵总的元素个数，本例中是 9。

和 COO 相比，我们通过行压缩，节约了存储空间。

对应的 C++ 代码如下：

int row[] ={0, 2, 4, 7, 9};
int col[] ={0, 1, 1, 2, 0, 2, 3, 1, 3};
int data[]={1, 7, 2, 8, 5, 3, 9, 6, 4};

Compressed Sparse Column Format（CSC）

列压缩，是按列存储一个稀疏矩阵的方式。需要三类数据来表达：数值，行号，以及列偏移。CSC 不是三元组，而是整体的编码方式。数值和行号与 COO 一致，表示一个元素以及其行号，列偏移表示某一列的第一个元素在 values 里面的起始偏移位置。

如上图中，第一列元素 1 是 0 偏移，第二列元素 7 是 2 偏移，第三列元素 8 是 5 偏移，第 4 列元素 9 是 7 偏移。在列偏移的最后补上矩阵总的元素个数，本例中是 9。

和 COO 相比，我们通过列压缩，节约了存储空间。

对应的 C++ 代码如下：

int row[] ={0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3};
int col[] ={0, 2, 5, 7, 9};
int data[]={1, 5, 7, 2, 6, 8, 3, 9, 4};

总结

COO、CSR 和 CSC 三种方法各有用途，我们使用 CSR 最多，因为在大部分科学计算中，基本都是运行 Ax=b 这个问题。

下一步工作

将稀疏矩阵存储原理部分解释完成后，下面将开始造*的过程。也就是自己写一个稀疏矩阵的类，用于保存。将来在这个基础上，进一步扩充代码。逐步完成矩阵运算。

整个造*的过程，相关的代码都会保存在 Github 中，https://github.com/zhouyium/SparseMatrix.git。