300. 最长上升子序列

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1、常规动归思想

首先使用的是常规的动归思想，时间复杂度为 O(n^2)，不多解释，只是要注意，dp[i] 每次都是在 dp[0] - dp[i-1] 中寻找最大的值 + 1。

public int lengthOfLIS(int[] nums) {
    if (nums == null || nums.length == 0) return 0;
    int[] dp = new int[nums.length];
    dp[0] = 1;
    int result = 1;
    for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
        int max = 0;
        for (int j = i - 1; j >= 0; j--) {
            if (nums[i] > nums[j] && max < dp[j]) max = dp[j];
        }
        dp[i] = max + 1;
        if (result < dp[i]) result = dp[i];
    }
    return result;
}

2、基于二分查找

转载自：https://blog.csdn.net/shuangde800/article/details/7474903

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。n
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！

对于上述解题思想，B 数组中的最后一个有效元素 B[last] 需要保持为所有大于 B[last-1] 的元素中的最小值，因为只有两个元素的差值越小，才能在边界在一定范围内的有序集合中填充更多的有序的元素。

public int lengthOfLIS2(int[] nums) {
    if (nums == null || nums.length == 0) return 0;

    int[] tmpArr = new int[nums.length];
    tmpArr[0] = nums[0];
    int tmpLen = 1;
    for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
        if (nums[i] > tmpArr[tmpLen - 1]) {
            tmpArr[tmpLen] = nums[i];
            tmpLen++;
        } else {
            //二分查找。注意，这里二分查找是求下界的，即返回 >= 所查找对象的第一个位置
            int mid;
            int left = 0;
            int right = tmpLen - 1;
            while (left<right) {
                mid = (left + right) / 2;
                if (tmpArr[mid]>=nums[i]) right=mid;
                else left = mid + 1;
            }
            tmpArr[left] = nums[i];
        }
    }
    return tmpLen;
}