[CF650C]Table Compression

题目

传送门 to luogu

注解
压缩后的矩阵也要全部是正数。不然做个毛线。

思路

显然约束条件只有两种——要么二者相等；要么二者有大小关系。

不难想到这样一种思路：用有向边 $a\rightarrow b$a→b 表示 $a<b$a<b ，用无向边表示相等。这样我们会得到一张图。这张图能完全代替原矩阵。

为了让最大值最小，我们贪心地使得每个值都尽量小。这是容易实现的，只需要将无向边缩点，然后做一个拓扑排序即可。

可是我们的边的数量是点数的平方，也就是 $\mathcal O(n^2m^2)$O(n2m2) 的。显然这令人难以接受。

这时我们需要优化建图。考虑到本题中 有向边具有传递性，我们只需要很少的边就可以唯一确定大小关系。更具体的，我们只需要 相邻的两个点之间连边即可。

所以我们将每一行（每一列也是同样的处理方式）排序，然后连边。这样一来，边数就急剧缩减为 $\mathcal O(nm)$O(nm) 。时间复杂度 $\mathcal O(nm\log nm)$O(nmlognm) 。

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long int_;
inline int readint(){
	int a = 0; char c = getchar(), f = 1;
	for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar())
		if(c == '-') f = -f;
	for(; '0'<=c&&c<='9'; c=getchar())
		a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);
	return a*f;
}

const int MaxN = 1000005;
const int MaxM = MaxN<<2;
int n, m;

struct Edge{
	int to, nxt;
	Edge(){ }
	Edge(int T,int N){
		to = T, nxt = N;
	}
};
Edge e[MaxM<<1];
int head[MaxN], cntEdge;
void clear_graph(bool save = false){
	for(int i=0; i<n*m; ++i)
		head[i] = -1;
	if(!save) cntEdge = 0;
}
/** @brief add a directed edge */
void addEdge(int a,int b){
	e[cntEdge] = Edge(b,head[a]);
	head[a] = cntEdge ++;
}

int dfn[MaxN], dfsClock;
int bel[MaxN]; bool inSta[MaxN];
vector< int > sta;
int tarjan(int x){
	int low = dfn[x] = ++ dfsClock;
	sta.push_back(x); inSta[x] = 1;
	for(int i=head[x]; ~i; i=e[i].nxt){
		if(!dfn[e[i].to])
			low = min(low,tarjan(e[i].to));
		else if(inSta[e[i].to])
			low = min(low,dfn[e[i].to]);
	}
	if(low == dfn[x]){
		int y; do{
			y = sta.back(), inSta[y] = 0;
			bel[y] = x, sta.pop_back();
		}while(y != x);
	}
	return low;
}

int a[MaxN];
struct Node{
	int id; Node(int I = 0):id(I){ }
	operator int()const{return a[id];}
};
Node b[MaxN];
void build(){
	clear_graph();
	for(int i=0; i<n; ++i){
		for(int j=0; j<m; ++j)
			b[j] = Node(i*m+j);
		sort(b,b+m);
		for(int j=1; j<m; ++j){
			addEdge(b[j-1].id,b[j].id);
			if(b[j-1] == b[j])
				addEdge(b[j].id,b[j-1].id);
		}
	}
	for(int j=0; j<m; ++j){
		for(int i=0; i<n; ++i)
			b[i] = Node(i*m+j);
		sort(b,b+n);
		for(int i=1; i<n; ++i){
			addEdge(b[i-1].id,b[i].id);
			if(b[i-1] == b[i])
				addEdge(b[i].id,b[i-1].id);
		}
	}
}

int rudu[MaxN], ans[MaxN];
void dfs(int x){
	++ ans[x], rudu[x] = -1;
	for(int i=head[x]; ~i; i=e[i].nxt){
		if(ans[e[i].to] < ans[x])
			ans[e[i].to] = ans[x];
		if((-- rudu[e[i].to]) == 0)
			dfs(e[i].to);
	}
}
void topo(){
	for(int i=0; i<n*m; ++i)
		rudu[i] = 0;
	for(int i=0; i<n*m; ++i)
	for(int j=head[i]; ~j; j=e[j].nxt)
		++ rudu[e[j].to];
	for(int i=0; i<n*m; ++i)
		if(!rudu[i]) dfs(i);
}

vector< pair<int,int> > newE;
int main(){
	n = readint(), m = readint();
	for(int i=0; i<n; ++i)
	for(int j=0; j<m; ++j)
		a[i*m+j] = readint();
	build(); // 抽象成图
	for(int i=0; i<n*m; ++i)
		if(!dfn[i]) tarjan(i);
	for(int i=0; i<n*m; ++i)
	for(int j=head[i]; ~j; j=e[j].nxt)
		if(bel[i] != bel[e[j].to]){
			auto p = make_pair(bel[i],
				bel[e[j].to]);
			newE.push_back(p);
		}
	clear_graph();
	for(auto p : newE)
		addEdge(p.first,p.second);
	topo();
	for(int i=0; i<n; ++i){
		for(int j=0; j<m; ++j)
			printf("%d ",ans[bel[i*m+j]]);
		putchar('\n');
	}
	return 0;
}