动态规划经典题目

动态规划以及经典习题

//////////***没有套路具体问题具体分析***//////////

1.数字三角形问题
有一个由非负整数组成的三角形，第一行只有一个数，除了最下行之外每个数的左下方和右下方各有一个数.

1

3 2

4 10 1

4 3 2 20

从第一行的数开始，每次可以往左下或右下走一格，直到走到最下行，把沿途经过的数全部加起来，如何走才能使得这个和尽量大？

输入：三角形的行数n，数字三角形的各个数（从上到下，从左到右）

输出：最大的和。

运行结果：

状态：summax[i][j]表示坐标[i][j]的点到最后一行的最大值
状态转移方程:
summax[i][j]=max(maxsum[i+1][j],summax[i+1][j+1])+a[i][j]
采用从下往上倒退的方法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
	int m,n,a[100][100],summax[100][100];	
	cin>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
			cin>>a[i][j];
	memset(summax,0,sizeof(summax));
	for(int i=m;i>0;i--)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			if(i==m)
				summax[i][j]=a[i][j];
			else
				summax[i][j]=max(summax[i+j][j],summax[i+1][j+1])+a[i][j];
				 
		} 
	}
	cout<<summax[1][1]<<endl;
} 

2.最长上升子序列

题目描述：
给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。
示例:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。

最长上升子序列：
状态:summax[i]来表示以[i]为结尾的最长的子序列的长度
状态转移方程：
找到a[j]<a[i] (j<i) :summax[i]=max{ 1<=j<i且a[i]>a[j]}+1
找不到 :summax[i]=1;

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
	int m,a[100],b[100];
	cin>>m;
	for(int i=0;i<m;i++)
	{
		cin>>a[i];
		b[i]=1;
	}
	for(int i=1;i<m;i++)
		for(int j=0;j<i;j++)
			if(a[j]<a[i])
				b[i]=max(b[j]+1,b[i]);
	cout<<b[m-1];
} 

最长公共子序列

最长公共子序列：
已知字符串a ,b
m,n分别表示两字符串的长度
找状态：summax[i][j] 表示字符串a的前i个字符，和字符串b的前j个字符公共子序列的长度
必有 summax[i][0]=0 summax[0][i]=0;
此题便是求summax[m-1][n-1];
状态转移方程：
if(a[i]==a[j])
summax[i][j]=summax[i-1][j-1]+1;
else
summax[i][j]=max(summax[i-1][j],summax[i][j-1])

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
	string a,b;
	cin>>a>>b;
	int summax[100][100],m,n;
	memset(summax,0,sizeof(summax));  
	m=a.length();n=b.length();
	for(int i=0;i<m;i++)
		summax[0][i]=1;
	for(int j=0;j<n;j++)
		summax[j][0] =1;
	for(int i=1;i<m;i++)
	{
		for(int j=1;j<n;j++)
		{
			if(a[i]==b[j])
				summax[i][j]=summax[i-1][j-1]+1;
			else
				summax[i][j]=max(summax[i-1][j],summax[i][j-1]);
		}
	}
	cout<<summax[m-1][n-1];
}