[HNOI/AHOI2018] 转盘

倍长数组\(t\)。

若从\(x\)出发，依次标记完所有物品的代价为\(n-1+\max_{i=x}^{x+n-1}\{t_i-(i-x)\}\)，如果某个物品\(y\)被跳过一次才取到，则取到\(y\)时的增加的代价/固有时间\(n\)，而减少的代价/等待时间却不会超过\(n\)，因为\(y\)在绕一周之后能够被标记到，总不会减少。这也适用于被跳过多次的情况和跳过多个物品的情况，故称从点\(x\)出发的最优方案是依次标记完所有的物品。

记\(p_i=t_i-i\)，根据结论本题的最优解为
\[ (n-1)+\min_{i=1}^n\{i+\max_{j=i}^{i+n-1}p_j\} \]
我有一个\(o(2nm)\)的大胆想法 考虑到\(p_i=p_{i+n}+n\)，可以变形
\[ (n-1)+\min_{i=1}^n\{i+\max_{j=i}^{2n}p_j\} \]
线段树（总长\(2n\)，堆式储存）节点\(x\)维护\(m_x=\max_{i=l_x}^{r_x}p_i\)和\(v_x=\min_{i=l}^{mid_x}\{i+\max_{j=i}^{r_x}p_j\}\)，这样答案是
\[ (n-1)+v_1 \]

于\(v_x\)的合并，设\(q(y)=\min_{i=l_y}^{r_y}\{i+\max_{j=i}^{r_x}p_i\}\)，则
\[ v_x=\min_{i=l}^{mid_x}\{i+\max_{j=i}^{r_x}p_j\}=q(ls_x)\\ \]
很显然的有递归式，边界另外看就好了
\[ q(y)=\begin{cases} \min\{v_{y},q(rs_y)\}&m_{rs_y}\ge \max_{i=r_y+1}^{mid_x}p_i\\ \min\{q(ls_y),mid_y+1+\max_{i=r_y+1}^{mid_x}p_i \}&m_{rs_y}<\max_{i=r_y+1}^{mid_x}p_i \end{cases}\\ \]
这样合并\(v_x\)是一个\(\log\)的，线段树是两个\(\log\)的，完全可行。

代码马上补

代码补好啦

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long 
#define ls (x<<1)
#define rs (x<<1|1)
using namespace std;

const int n=2e5+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;

int n,q,p,ans,p[n];
int mid[n<<2],m[n<<2],v[n<<2];
int dfn[n<<2];

int q(int x,int w) {
    if(dfn[x]) return dfn[x]+max(m[x],w);
    if(m[rs]>=w) return min(v[x],q(rs,w));
    return min(q(ls,max(w,m[rs])),mid[x]+1+w);
}
inline void upd(int x) {
    m[x]=max(m[ls],m[rs]);
    v[x]=q(ls,m[rs]);
}
void build(int x,int l,int r) {
    if(l==r) {
        m[x]=p[l];
        v[x]=l+p[l];
        dfn[x]=l;
        return;
    }
    mid[x]=(l+r)>>1;
    build(ls,l,mid[x]);
    build(rs,mid[x]+1,r);
    upd(x);
}
void modify(int x,int l,int r,int p) {
    if(l==r) {
        m[x]=p[l];
        v[x]=l+p[l];
        return;
    }
    if(p<=mid[x]) modify(ls,l,mid[x],p);
    else modify(rs,mid[x]+1,r,p);
    upd(x);
}

int main() {
    scanf("%d%d%d",&n,&q,&p);
    for(int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d",p+i),p[i+n]=p[i];
    for(int i=1; i<=n*2; ++i) p[i]-=i;
    build(1,1,n*2);
    printf("%d\n",ans=n-1+v[1]);
    for(int x,y; q--; ) {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        if(p) x^=ans,y^=ans;
        p[x]=y-x; 
        p[x+n]=y-x-n; 
        modify(1,1,n*2,x);
        modify(1,1,n*2,x+n);
        printf("%d\n",ans=n-1+v[1]);
    }
    return 0;
}