计蒜客T31434 广场车神（二维前缀和优化dp）

题目链接

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Reference:https://www.cnblogs.com/dilthey/p/9757781.html

首先容易想到的常规dp是，初始化$dp(i,j)=0$，对于当前下标$(i,j)$为右上角的一个边长为$k+1$的正方形内：

$dp(i,j)= \sum_{x=i-k}^{i} \sum_{y=j-k}^{j}dp(x,y)$

但是这样的时间复杂度为$O(nwk^2)$，使用二维前缀和优化

设最后dp方程的二维前缀和$sum(i,j)= \sum_{x=1}^{i} \sum_{y=1}^{j}dp(x,y)$，因为当前状态只能从一个$(k+1)*(k+1)$的正方形内的状态转移，如果使用二维前缀和计算这一方形区域，设下边界为$d=i-k-1$，左边界为$l=j-k-1$，状态转移方程为：

$dp(i,j)=(sum(i-1,j)+sum(i,j-1)−sum(i-1,j-1))−(sum(d,j)+sum(i,l)−sum(d,l))$，画个图很容易看出来，然后根据二维前缀和的定义：

$sum(i,j)=(sum(i-1,j)+sum(i,j-1)−sum(i-1,j-1))+dp(i,j)=2(sum(i-1,j)+sum((i,j-1)−sum(i-1,j-1))−(sum(d,j)+sum(i,l)−sum(d,l))$

那么最后的答案就是：

$dp(n,m)=sum(n,m)−(sum(n-1,m)+sum(n,m-1)−sum(n-1,m-1))$

#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <queue>
#include <math.h>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <bitset>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define ins insert
#define Vector Point
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define mkp(x,y) make_pair(x,y)
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof a);
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<double,double> pdd;
const double eps=1e-8;
const double pi=acos(-1.0);
const int inf=0x3f3f3f3f;
const double dinf=1e300;
const ll INF=1e18;
const int Mod=998244353;
const int maxn=2e5+10;

ll sum[2020][2020];

int main(){
    freopen("racing.in","r",stdin);
    freopen("racing.out","w",stdout);
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    int n,m,k;
    cin>>n>>m>>k;
    sum[1][1]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(i==1 && j==1) continue;
            int l=max(0,i-k-1),d=max(0,j-k-1);
            sum[i][j]=(2*(sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1])%Mod-(sum[l][j]+sum[i][d]-sum[l][d])%Mod+Mod)%Mod;
        }
    ll ans=(sum[n][m]-(sum[n-1][m]+sum[n][m-1]-sum[n-1][m-1])%Mod+Mod)%Mod;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

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