数据结构与算法之树(一）

1. 树的概念

树（tree）是一种抽象的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的的数据集和。它是由n个有限节点组成具有层次关系的集合。

• 每个节点有零个或多个子节点；
• 没有父节点的节点称为根节点；
• 每一个非根节点有且只有一个父节点；
• 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；
  下面是霍夫曼树的结构图
  

1.2 树的术语

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
• 叶节点或终端节点：度为零的节点；
• 父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的深度：树中节点的最大层次
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

1.3 树的种类

• 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为*树；

• 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；

  • 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；

    • 完全二叉树：对于一颗二叉树，假设其深度为d(d>1)。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树，其中满二叉树的定义是所有叶节点都在最底层的完全二叉树;

  -霍夫曼树（用于信息编码）：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；

2 二叉树

2.1概念

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构，通常子树被称作“左子树”和“右子树”。

2.2 二叉树的性质

• 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>0）
• 深度为k的二叉树至多有2^k - 1个结点（k>0）
• 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1;
• 具有n个结点的完全二叉树的深度必为 log2(n+1)
• :对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i 的结点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号必为2i＋1；其双亲的编号必为i/2（i＝1 时为根,除外）

2.3 二叉树实现

二叉树的实现本质上属于

• 二叉树添加节点

clas Node(object):
	def __init__(self,iten)
	self.elem = item
	self.lchild = None
	self.rchild = None
class Tree(object):
	def __init__(self):
		self.root = None
	def add(self,item):
		node = Node(item)
		if self.root is None:
			self.root = node
			return
		queue = [self.root]
		cur_node = queue.pop(0)
		if cur_node.lchild is None:
			cur_node.lchild = node
			return
		else:
			queue.append(cur_node.lchild)
		if cur_node.right is None:
			cur_node.right = node
		else:
			queue.append(cur_node.rchild)

• 广度优先遍历
  从树的root开始，从上到下从左到右遍历树的节点

def breadth_traval(self):
	if self.root is None:
		return
	queue = [self.root]
	while queue:
		cur_node = queue.pop(0)
		print(cur_node.elem)
		if cur_node.lchild is not None:
			queue.append(cur_node.lchild)
		if cur_node.rchild is not None:
			queue.append(cur_node.rchild)
	

• 深度优先遍历
  对于一颗二叉树，深度优先搜索(Depth First Search)是沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深的搜索树的分支。深度遍历有重要的三种方法。这三种方式常被用于访问树的节点，它们之间的不同在于访问每个节点的次序不同。这三种遍历分别叫做先序遍历（preorder），中序遍历（inorder）和后序遍历（postorder）。

  • 先序遍历 ----------------》根-左-右
  • 中序遍历----------------》左-根-右
  • 后序遍历----------------》左-右-根

def preorder(self,node):
	if node is None:
		return
	print(node.elem,end=" ")
	self.preorder(node.lchilad)
	self.preorder(node.right)
def inorder(self,node):
	if node is None:
		return
	self.inorder(node.lchild)
	print(node.elem,end = " ")
	self.inorder(node.rchild)
def postorder(self,node):
	if node is None:
		return
	self.postorder(node.lchild)
	self.postorder(node.rchild)
	print(node.elem,end=" ")