割点

introduction：

在一个无向图中，如果有一个顶点集合，删除这个顶点集合以及这个集合中所有顶点相关联的边以后，图的连通分量增多，就称这个点集为割点集合。

如果某个割点集合只含有一个顶点x（也即{x}是一个割点集合），那么x称为一个割点。--百度百科

首先，什么是割点？

在一个有n个节点，m条边的有向图中，若删去一个点，以及所有与这个节点直接相连的边，会使该图不连通、或出现更多互不连通的子图（原图本身就不连通的情况），则称这个点为割点。

那么不难想到割点的一种求法：

一、暴力枚举：

枚举每一个节点，判断该节点是否是割点（没有什么是暴力解决不了的）

不过显然暴力枚举太慢了，出题人也不想让你这么轻松就ac

因此，可以用以下两种方法快速的求出割点：

二、dfs树：

首先来设想一下，假如我们用dfs来遍历一张无向图连通图，保证每个点只被遍历到一次，然后将遍历时经过的每一个点，每一条边取出，组成一个新的联通图，显而易见：这张新图必然是一棵树。

我们称这棵树为dfs树，同时不难看出，由于遍历时所选的根节点不同，遍历的顺序不同，所以这颗dfs树并不唯一，不过这对于求割点而言影响不大，所以只要任意求出一颗dfs树就可以了

对于原图而言，我们将构成dfs树的边称为树边，不属于dfs树的边称为非树边

存在一个结论：对于每一条非树边，他只可能连接dfs树上某个节点和他的祖先，不可能连接两个分别位于不同子树上的节点，我们称这样连接dfs树上的某个节点与他的祖先的非树边为返祖边。

如图所示，只存在形如边i的返祖边，不存在形如边j的横跨边

图1证明：若存在边j，则在dfs时必然会先经过边j由5节点遍历到3节点，形成如下图形，不可能会形成一条横跨边。

图2：借助dfs树的这些性质，我们就可以求割点了：

分三种情况讨论:

1.若该节点是叶子节点，那么他一定不是割点

2.若该节点是根节点，那么若他的子树数量大于等于2，则他是割点，若他只有一颗子树，则他不是割点

3.若该节点既不是根节点也不是叶子节点，则若他的每一颗子树都中存在一条返祖到他的祖先节点（不包括）的返祖边，则他不是割点（如上图2中的2、5节点）反之他是割点

如图所示：图a中的1节点是一个割点，4节点是一个割点，图b中的1节点不是一个割点，5节点不是一个割点

代码如下：

  1 #include<cstdio>
  2 #include<cstring>
  3 #include<iostream>
  4 #include<algorithm>
  5 using namespace std;
  6 const int maxn = 100010;
  7 const int maxm = 500005;
  8 int n, m;
  9 int tot, ans;
 10 bool vis[maxn];
 11 struct edge
 12 {
 13     int to;
 14     int next;
 15     bool t;//这条边是否是一条从子节点到父节点的边
 16     bool flag;//是否是树边
 17 }e[maxm];
 18 struct node
 19 {
 20     int f;//该节点的父节点
 21     int to;//该节点及其子树的所有节点的返祖边能够到达的最浅深度
 22     int son;//该节点的子节点的个数
 23     int deep;//该节点的深度
 24     int head;
 25     bool root;//是否是根节点
 26     bool flag;//是否是割点
 27 }p[maxn];
 28 void add(int u, int v)
 29 {
 30     tot++;
 31     e[tot].to = v;
 32     e[tot].next = p[u].head;
 33     p[u].head = tot;
 34 }
 35 void dfs(int u, int f)//u代表当前节点,f代表该节点的父节点
 36 {
 37     vis[u] = 1;
 38     p[u].deep = p[f].deep + 1;//记录深度
 39     p[u].to = p[u].deep;//初始设该节点及其子树所能够连接的最浅深度为该节点的深度
 40     for (int i = p[u].head; i; i = e[i].next)//枚举该节点的所有子节点
 41     {
 42         int v = e[i].to;
 43         if (!vis[v])
 44         {
 45             p[u].son++;//记录子节点的数量
 46             p[v].f = u;//记录u的子节点的父节点为u
 47             e[i].flag = 1;//这条边属于树边
 48             dfs(v, u);
 49         }
 50     }
 51 }
 52 void init(int u)//处理每个节点的子树
 53 {
 54     for (int i = p[u].head; i; i = e[i].next)//更新每一个节点的子树所能抵达的最浅深度
 55     {
 56         int v = e[i].to;
 57         if (e[i].flag && !e[i].t)
 58         {
 59             init(v);
 60             p[u].to = min(p[u].to, p[v].to);
 61         }
 62     }
 63 }
 64 bool check(int u)
 65 {
 66     for (int i = p[u].head; i; i = e[i].next)
 67     {
 68         if (e[i].flag && !e[i].t)
 69         {
 70             int v = e[i].to;
 71             if (!(p[v].to < p[u].deep))
 72                 return 0;
 73         }
 74     }
 75     return 1;
 76 }
 77 void work()//判断每一个节点是否是割点
 78 {
 79     for (int u = 1; u <= n; u++)
 80     {
 81         if (u == 1)//u是根节点
 82         {
 83             if (p[u].son <= 1)
 84                 p[u].flag = 1;//不是割点
 85         }
 86         else if (p[u].son == 0)
 87             p[u].flag = 1;
 88         else
 89         {
 90             if (check(u))
 91                 p[u].flag = 1;
 92         }
 93     }
 94 }
 95 int main()
 96 {
 97     cin >> n >> m;
 98     for (int i = 1; i <= m; i++)
 99     {
100         int u, v;
101         cin >> u >> v;
102         add(u, v);
103         add(v, u);
104     }
105     dfs(1, 0);
106     //处理最小深度
107     //注意要特判从儿子节点到父节点的边（树边的一半），否则所有节点（都被认为可以到达根节点）
108     for (int u = 1; u <= n; u++)
109     {
110         for (int i = p[u].head; i; i = e[i].next)
111         {
112             int v = e[i].to;
113             if (!e[i].flag && v != p[u].f)//若这条边是树边且不是由儿子节点到父节点
114             {
115                 p[u].to = min(p[u].to, p[v].deep);//更新u能抵达的最前深度
116             }
117             if (v == p[u].f)
118                 e[i].t = 1;
119         }
120     }
121     init(1);
122     work();
123     for (int i = 1; i <= n; i++)
124         if (!p[i].flag)
125             ans++;
126     cout << ans << endl;
127     for (int i = 1; i <= n; i++)
128         if (!p[i].flag)
129             cout << i << " ";
130     return 0;
131 }

不过上面的代码只能处理原图联通的情况，如果原图不连通则需要多跑几次（看成多个不同的连通图）

三、tarjan：

可以看出：以上用dfs树求割点的算法相当繁琐，相比之下，tarjan可以更加简单快捷的求出割点（并且不需要特判图的连通性）

分两种情况讨论：

1.对于根节点：若该节点的子节点的数量大于等于2则该节点是割点

2.对于其他节点：设该节点为u，设该节点的子节点为v，若存在low[v]>=dfn[u]则节点u为割点（类比dfs树第二种情况）

代码如下：

 1 #include<stack>
 2 #include<vector>
 3 #include<string.h>
 4 #include<iostream>
 5 #include<algorithm>
 6 using namespace std;
 7 const int maxn = 100010;
 8 int ans;
 9 int n, m, id;
10 int dfn[maxn];
11 int low[maxn];
12 bool flag[maxn];//记录每一个点是否是割点
13 vector<int> e[maxn];//vector存图
14 void tarjan(int u, int f)//普通的tarjan
15 {
16     int child = 0;//记录该节点有几个子节点
17     low[u] = dfn[u] = ++id;
18     for (int i = 0; i < e[u].size(); i++)
19     {
20         int v = e[u][i];
21         if (!dfn[v])
22         {
23             tarjan(v, f);
24             low[u] = min(low[u], low[v]);
25             if (low[v] >= dfn[u] && u != f)
26                 flag[u] = 1;
27             if (u == f)
28                 child++;
29         }
30         low[u] = min(low[u], dfn[v]);
31     }
32     if (child >= 2 && u == f)
33         flag[u] = 1;
34 }
35 int main()
36 {
37     cin >> n >> m;
38     for (int i = 1; i <= m; i++)
39     {
40         int u, v;
41         cin >> u >> v;
42         e[u].push_back(v);
43         e[v].push_back(u);
44     }
45     for (int i = 1; i <= n; i++)//原图不一定联通，所以只要节点i尚未被遍历过
46         if (!dfn[i])//就要以i为根节点运行一次tarjan
47             tarjan(i, i);
48     for (int i = 1; i <= n; i++)
49         if (flag[i])
50             ans++;
51     cout << ans << endl;
52     for (int i = 1; i <= n; i++)
53         if (flag[i])
54             cout << i << " ";
55     return 0;
56 }

 --会宁狐狸