数据结构——二叉树的遍历

 “树”是一种重要的数据结构，本文浅谈二叉树的遍历问题，采用C语言描述。

 

一、二叉树基础

1）定义：有且仅有一个根结点，除根节点外，每个结点只有一个父结点，最多含有两个子节点，子节点有左右之分。
2）存储结构

        二叉树的存储结构可以采用顺序存储，也可以采用链式存储，其中链式存储更加灵活。

        在链式存储结构中，与线性链表类似，二叉树的每个结点采用结构体表示，结构体包含三个域：数据域、左指针、右指针。

        二叉树在C语言中的定义如下：       

1. struct BiTreeNode{
2. int c;
3. struct BiTreeNode *left;
4. struct BiTreeNode *right;
5. };

 

二、二叉树的遍历

        “遍历”是二叉树各种操作的基础。二叉树是一种非线性结构，其遍历不像线性链表那样容易，无法通过简单的循环实现。

        二叉树是一种树形结构，遍历就是要让树中的所有节点被且仅被访问一次，即按一定规律排列成一个线性队列。二叉（子）树是一种递归定义的结构，包含三个部分：根结点（N）、左子树（L）、右子树（R）。根据这三个部分的访问次序对二叉树的遍历进行分类，总共有6种遍历方案：NLR、LNR、LRN、NRL、RNL和LNR。研究二叉树的遍历就是研究这6种具体的遍历方案，显然根据简单的对称性，左子树和右子树的遍历可互换，即NLR与NRL、LNR与RNL、LRN与RLN，分别相类似，因而只需研究NLR、LNR和LRN三种即可，分别称为“先序遍历”、“中序遍历”和“后序遍历”。

        二叉树遍历通常借用“栈”这种数据结构实现，有两种方式：递归方式及非递归方式。

        在递归方式中，栈是由操作系统维护的，用户不必关心栈的细节操作，用户只需关心“访问顺序”即可。因而，采用递归方式实现二叉树的遍历比较容易理解，算法简单，容易实现。

        递归方式实现二叉树遍历的C语言代码如下：

1. //先序遍历--递归
2. int traverseBiTreePreOrder(BiTreeNode *ptree,int (*visit)(int))
3. {
4. if(ptree)
5. {
6. if(visit(ptree->c))
7. if(traverseBiTreePreOrder(ptree->left,visit))
8. if(traverseBiTreePreOrder(ptree->right,visit))
9. return 1; //正常返回
10. return 0; //错误返回
11. }else return 1; //正常返回
12. }
13. //中序遍历--递归
14. int traverseBiTreeInOrder(BiTreeNode *ptree,int (*visit)(int))
15. {
16. if(ptree)
17. {
18. if(traverseBiTreeInOrder(ptree->left,visit))
19. if(visit(ptree->c))
20. if(traverseBiTreeInOrder(ptree->right,visit))
21. return 1;
22. return 0;
23. }else return 1;
24. }
25. //后序遍历--递归
26. int traverseBiTreePostOrder(BiTreeNode *ptree,int (*visit)(int))
27. {
28. if(ptree)
29. {
30. if(traverseBiTreePostOrder(ptree->left,visit))
31. if(traverseBiTreePostOrder(ptree->right,visit))
32. if(visit(ptree->c))
33. return 1;
34. return 0;
35. }else return 1;
36. }

        以上代码中，visit为一函数指针，用于传递二叉树中对结点的操作方式，其原型为：int (*visit)(char)。

        大家知道，函数在调用时，会自动进行栈的push，调用返回时，则会自动进行栈的pop。函数递归调用无非是对一个栈进行返回的push与pop，既然递归方式可以实现二叉树的遍历，那么借用“栈”采用非递归方式，也能实现遍历。但是，这时的栈操作（push、pop等）是由用户进行的，因而实现起来会复杂一些，而且也不容易理解，但有助于我们对树结构的遍历有一个深刻、清晰的理解。

        在讨论非递归遍历之前，我们先定义栈及各种需要用到的栈操作：

1. //栈的定义，栈的数据是“树结点的指针”
2. struct Stack{
3. BiTreeNode **top;
4. BiTreeNode **base;
5. int size;
6. };
7. #define STACK_INIT_SIZE 100
8. #define STACK_INC_SIZE 10
9. //初始化空栈，预分配存储空间
10. Stack* initStack()
11. {
12. Stack *qs=NULL;
13. qs=(Stack *)malloc(sizeof(Stack));
14. qs->base=(BiTreeNode **)calloc(STACK_INIT_SIZE,sizeof(BiTreeNode *));
15. qs->top=qs->base;
16. qs->size=STACK_INIT_SIZE;
17. return qs;
18. }
19. //取栈顶数据
20. BiTreeNode* getTop(Stack *qs)
21. {
22. BiTreeNode *ptree=NULL;
23. if(qs->top==qs->base)
24. return NULL;
25. ptree=*(qs->top-1);
26. return ptree;
27. }
28. //入栈操作
29. int push(Stack *qs,BiTreeNode *ptree)
30. {
31. if(qs->top-qs->base>=qs->size)
32. {
33. qs->base=(BiTreeNode **)realloc(qs->base,(qs->size+STACK_INC_SIZE)*sizeof(BiTreeNode *));
34. qs->top=qs->base+qs->size;
35. qs->size+=STACK_INC_SIZE;
36. }
37. *qs->top++=ptree;
38. return 1;
39. }
40. //出栈操作
41. BiTreeNode* pop(Stack *qs)
42. {
43. if(qs->top==qs->base)
44. return NULL;
45. return *--qs->top;
46. }
47. //判断栈是否为空
48. int isEmpty(Stack *qs)
49. {
50. return qs->top==qs->base;
51. }

        首先考虑非递归先序遍历（NLR）。在遍历某一个二叉（子）树时，以一当前指针记录当前要处理的二叉（左子）树，以一个栈保存当前树之后处理的右子树。首先访问当前树的根结点数据，接下来应该依次遍历其左子树和右子树，然而程序的控制流只能处理其一，所以考虑将右子树的根保存在栈里面，当前指针则指向需先处理的左子树，为下次循环做准备；若当前指针指向的树为空，说明当前树为空树，不需要做任何处理，直接弹出栈顶的子树，为下次循环做准备。相应的C语言代码如下：

1. //先序遍历--非递归
2. int traverseBiTreePreOrder2(BiTreeNode *ptree,int (*visit)(int))
3. {
4. Stack *qs=NULL;
5. BiTreeNode *pt=NULL;
6. qs=initStack();
7. pt=ptree;
8. while(pt || !isEmpty(qs))
9. {
10. if(pt)
11. {
12. if(!visit(pt->c)) return 0; //错误返回
13. push(qs,pt->right);
14. pt=pt->left;
15. }
16. else pt=pop(qs);
17. }
18. return 1; //正常返回
19. }

        相对于非递归先序遍历，非递归的中序/后序遍历稍复杂一点。

        对于非递归中序遍历，若当前树不为空树，则访问其根结点之前应先访问其左子树，因而先将当前根节点入栈，然后考虑其左子树，不断将非空的根节点入栈，直到左子树为一空树；当左子树为空时，不需要做任何处理，弹出并访问栈顶结点，然后指向其右子树，为下次循环做准备。

1. //中序遍历--非递归
2. int traverseBiTreeInOrder2(BiTreeNode *ptree,int (*visit)(int))
3. {
4. Stack *qs=NULL;
5. BiTreeNode *pt=NULL;
6. qs=initStack();
7. pt=ptree;
8. while(pt || !isEmpty(qs))
9. {
10. if(pt)
11. {
12. push(qs,pt);
13. pt=pt->left;
14. }
15. else
16. {
17. pt=pop(qs);
18. if(!visit(pt->c)) return 0;
19. pt=pt->right;
20. }
21. }
22. return 1;
23. }
24. //中序遍历--非递归--另一种实现方式
25. int traverseBiTreeInOrder3(BiTreeNode *ptree,int (*visit)(int))
26. {
27. Stack *qs=NULL;
28. BiTreeNode *pt=NULL;
29. qs=initStack();
30. push(qs,ptree);
31. while(!isEmpty(qs))
32. {
33. while(pt=getTop(qs)) push(qs,pt->left);
34. pt=pop(qs);
35. if(!isEmpty(qs))
36. {
37. pt=pop(qs);
38. if(!visit(pt->c)) return 0;
39. push(qs,pt->right);
40. }
41. }
42. return 1;
43. }

        最后谈谈非递归后序遍历。由于在访问当前树的根结点时，应先访问其左、右子树，因而先将根结点入栈，接着将右子树也入栈，然后考虑左子树，重复这一过程直到某一左子树为空；如果当前考虑的子树为空，若栈顶不为空，说明第二栈顶对应的树的右子树未处理，则弹出栈顶，下次循环处理，并将一空指针入栈以表示其另一子树已做处理；若栈顶也为空树，说明第二栈顶对应的树的左右子树或者为空，或者均已做处理，直接访问第二栈顶的结点，访问完结点后，若栈仍为非空，说明整棵树尚未遍历完，则弹出栈顶，并入栈一空指针表示第二栈顶的子树之一已被处理。

1. //后序遍历--非递归
2. int traverseBiTreePostOrder2(BiTreeNode *ptree,int (*visit)(int))
3. {
4. Stack *qs=NULL;
5. BiTreeNode *pt=NULL;
6. qs=initStack();
7. pt=ptree;
8. while(1) //循环条件恒“真”
9. {
10. if(pt)
11. {
12. push(qs,pt);
13. push(qs,pt->right);
14. pt=pt->left;
15. }
16. else if(!pt)
17. {
18. pt=pop(qs);
19. if(!pt)
20. {
21. pt=pop(qs);
22. if(!visit(pt->c)) return 0;
23. if(isEmpty(qs)) return 1;
24. pt=pop(qs);
25. }
26. push(qs,NULL);
27. }
28. }
29. return 1;
30. }

三、二叉树的创建

        谈完二叉树的遍历之后，再来谈谈二叉树的创建，这里所说的创建是指从控制台依次（先/中/后序）输入二叉树的各个结点元素（此处为字符），用“空格”表示空树。

        由于控制台输入是保存在输入缓冲区内，因此遍历的“顺序”就反映在读取输入字符的次序上。

        以下是递归方式实现的先序创建二叉树的C代码。

1. //创建二叉树--先序输入--递归
2. BiTreeNode* createBiTreePreOrder()
3. {
4. BiTreeNode *ptree=NULL;
5. char ch;
6. ch=getchar();
7. if(ch==' ')
8. ptree=NULL;
9. else
10. {
11. ptree=(struct BiTreeNode *)malloc(sizeof(BiTreeNode));
12. ptree->c=ch;
13. ptree->left=createBiTreePreOrder();
14. ptree->right=createBiTreePreOrder();
15. }
16. return ptree;
17. }

        对于空树，函数直接返回即可；对于非空树，先读取字符并赋值给当前根结点，然后创建左子树，最后创建右子树。因此，要先知道当前要创建的树是否为空，才能做相应处理，“先序”遍历方式很好地符合了这一点。但是中序或后序就不一样了，更重要的是，中序或后序方式输入的字符序列无法唯一确定一个二叉树。我还没有找到中序/后序实现二叉树的创建（控制台输入）的类似简单的方法，希望各位同仁网友不吝赐教哈！

 

四、运行及结果

        采用如下的二叉树进行测试，首先先序输入创建二叉树，然后依次调用各个遍历函数。

        先序输入的格式：ABC ^ ^ D E ^ G ^ ^ F ^ ^ ^     （其中， ^  表示空格字符）

        遍历操作采用标准I/O库中的putchar函数，其原型为：int putchar(int);

        各种形式遍历输出的结果为：

                先序：ABCDEGF

                中序：CBEGDFA

                后序：CGEFDBA

        测试程序的主函数如下：

1. int main(int argc, char* argv[])
2. {
3. BiTreeNode *proot=NULL;
4. printf("InOrder input chars to create a BiTree: ");
5. proot=createBiTreePreOrder(); //输入(ABC DE G F )
6. printf("PreOrder Output the BiTree recursively: ");
7. traverseBiTreePreOrder(proot,putchar);
8. printf("\n");
9. printf("PreOrder Output the BiTree non-recursively: ");
10. traverseBiTreePreOrder2(proot,putchar);
11. printf("\n");
12. printf("InOrder Output the BiTree recursively: ");
13. traverseBiTreeInOrder(proot,putchar);
14. printf("\n");
15. printf("InOrder Output the BiTree non-recursively(1): ");
16. traverseBiTreeInOrder2(proot,putchar);
17. printf("\n");
18. printf("InOrder Output the BiTree non-recursively(2): ");
19. traverseBiTreeInOrder3(proot,putchar);
20. printf("\n");
21. printf("PostOrder Output the BiTree non-recursively: ");
22. traverseBiTreePostOrder(proot,putchar);
23. printf("\n");
24. printf("PostOrder Output the BiTree recursively: ");
25. traverseBiTreePostOrder2(proot,putchar);
26. printf("\n");
27. return 0;
28. }

 转自：https://blog.csdn.net/zhaoxianyong/article/details/7165386#commentBox

对于visit函数指针，可以这样简单的理解。visit是一个指针变量，它指向一个函数，这个函数的返回类型是int，这个函数的形参只有一个，也是int。那么怎么样表示这样一个指针才能让编译器知道visit是一个函数指针呢（即指向一个函数）？C标准给我们定了一个形式，就是 int (*visit) (int); 前一个int 表示返回类型，后一个int表示函数形参类型。 说到这里，我想起了之前我对此的一个误解。我之前以为这个被指向的函数肯定是这样的：int visit(int)；visit就是函数名。其实不是这样的，这个被指向的函数可以是这样的，int hanshu(int)。 另外，这个函数指针也不一定非得叫visit，也可以定义为 int (*v)(int)，v照样指向返回类型是int，形参类型是int的一个函数。 这是我当初看到visit的一些误区，我发现把这些误区弄清楚了，我就搞清楚了visit到底是什么了，希望对你有帮助。