理解计数排序算法的原理和实现

计数排序（Counting sort）是一种稳定的线性时间排序算法，其平均时间复杂度和空间复杂度为O(n+k)，其中n为数组元素的个数，k为待排序数组里面的最大值。同样具有线性时间排序的算法还有桶排序和基数排序，这一点不要搞混。 


计数排序不是基于比较的排序，所以它的排序效率是线性的，在特定的场景下（已知数组的最大最小值，切数组元素整体量不是很大的情况下）排序效率极高，而基于比较排序的算法，其时间复杂度基本逃脱不了O(nlogn)的魔咒，当然能达到O(nlogn)的时间复杂度，已经是非常牛逼了，这里面典型的代表就是快速排序算法，因为没有其他条件限制，所以基本上是一种通用排序算法。 


计数排序的算法的原理，其实是非常简单的，它不需要去跟其他元素比来比去，而是一开始就知道自己的位置，所以直接归位，在计数的该元素出现的词频数组里面，出现一次，就直接+1一次即可，如果没有出现改位置就是0，最后该位置的词频，就是代表其在原始数组里面出现的次数，由于词频数组的index是从0开始，所以最后直接遍历输出这个数组里面的每一个大于0的元素值即可。 

我们先来看看简单版本的Java语言写的计数排序是如何实现的，假设有四个元素{2，1，0，1}。 

Java代码  

1. ```  
2.     public static void  simpleCountSort(){  
3.         int nums[]={2,1,0,1};  
4.   
5.         int maxNum=2;  
6.   
7.         int storeArray[]=new int[maxNum+1];  
8.   
9.         //词频计数  
10.         for(int i=0;i<nums.length;i++){  
11.             storeArray[nums[i]]++;  
12.         }  
13.   
14.         System.out.println("==============排序后==============");  
15.   
16.         int ndx=0;  
17.         //遍历计数后的词频数组  
18.         for (int i = 0; i <storeArray.length ; i++) {  
19.             //对于每个index的值进行循环，输出，因为有可能重复  
20.             while (storeArray[i]>0){  
21.                 nums[ndx]=i;//把词频数组的值，放回原数组里面，  
22.                 ndx++;//替换一个数，就索引自增  
23.                 storeArray[i]--;//词频减1，防止死循环  
24.             }  
25.         }  
26.   
27.   
28.         System.out.println(Arrays.toString(nums));  
29.   
30.   
31.   
32.     }  
33. ```  

从上面可以看到，代码比较简单，但是并不是最优的，有三个缺点： 

第一不支持负数排序，第二在特定情况下使用空间较多，比如90-100仅仅有10个元素，但是数组却需要声明空间为100，第三排序不具有稳定性，重复元素的相对位置可能会变。 

经过优化后的计数排序算法，需要遍历一次得到元素的最小值和最大值，然后构造空间范围可以优化为，max-min+1，而不是前面简单的max，此外在实现的时候，对于原数组统计词频的时候，使用的每个元素减去min之后的值，这样能保证结果落在词频数组的范围之内，最后，为了保证排序算法的稳定性，我们需要对词频进行一次sum操作，从1开始，把每个位置的词频设置为当前的元素的词频+前一个元素的词频，这个值就代表了其在原数组里面应该出现的位置，接着我们倒序遍历原始数组，这样就能保证稳定性。 具体的算法过程，我推荐一个youtube上的一个视频，演示的最常清晰： 

[url] https://m.youtube.com/watch?v=TTnvXY82dtM[/url] 

优化后的代码如下： 

Java代码  

1. ```  
2.   public static int[] countSort(int []a){  
3.         //使用最大值和最小值的方式是一种优化的计数排序  
4.         //可以兼容负数的情况，同时能减少存储的空间，比如最大数是100，但实际上只有90-100这10个数字  
5.         //所以仅仅需要10个存储空间即可  
6.         int max = a[0], min = a[0];  
7.         for(int i : a){  
8.             max=Math.max(max,i);  
9.             min=Math.min(min,i);  
10.         }  
11.         System.out.println("max:"+max+"  min:"+min);  
12.         int k = max - min + 1;  
13.         System.out.println("count array len："+k);  
14.   
15.         int c[] = new int[k];  
16.         //先是count计数词频  
17.         for(int i = 0; i < a.length; ++i){  
18.             c[a[i]-min] ++;//优化过的地方，减小了数组c的大小，同时a[i]-min能保证c数组的第一个元素一定有元素的  
19.             //因为必定存在min-min=0  
20.         }  
21.         System.out.println("count: "+Arrays.toString(c));  
22.         //然后为了保持排序稳定，我们需要做一次累加操作  
23.         //这样做的目的，是为了标记出原始数组里面的该元素，前面有几个元素，这个值  
24.         //实际上就是其在原生数组里面的位置，如果有重复的元素，则会先会  
25.         //放置最右边的元素，这样就能保证，排序的稳定性  
26.         for(int i = 1; i < c.length; ++i){  
27.             c[i] = c[i] + c[i-1];  
28.         }  
29.   
30.         System.out.println("sumCount："+Arrays.toString(c));  
31.   
32.         //存储最终的排序结果  
33.         int b[] = new int[a.length];  
34.         //这里必须从后向前遍历，只有这样出现重复的元素，才会保持顺序的把最后面的重复元素，永远放在最右边。  
35.         //从而保证排序的稳定性  
36.         //如果从前向后排序，重复元素的顺序，刚好相反，所以就不是稳定的算法，但如果不关注稳定性，那么结果还是正确的  
37.         for (int i = a.length-1; i >=0 ; i--) {  
38.              //减去min是为了优化存储空间，这样得到新的转换值，  
39.              int pos=a[i]-min;  
40.              int sumCount=c[pos];  
41.   
42.             System.out.println(a[i]+" 在原数组的排序后的位置是： "+(sumCount-1));  
43.   
44.             //把最终生层的排序值，放在新的数组里面返回  
45.             b[sumCount-1]=a[i];  
46.             c[pos]--; //如果有重复元素，位置需要从右向左放置，所以需要把sumCount的值-1  
47.   
48.         }  
49.   
50.   
51.         return b;  
52.     }  
53. ```  

其中关键的地方有两个： 

第一，在于理解计算max和min之后，需要使用原数组每一个元素减去min的转换值统计词频，特定情况下能节省存储空间，这样做的另一个好处是可以兼容负数的情况，因为每一个元素减去最小值之后，结果必定是大于等于0 


第二，在于理解为什么采用词频求和的方式+倒序遍历原始数组的方式，能保证排序算法的稳定性 


理解了上面的两点，再来看优化后的计数排序就非常简单了，如果想证明计数排序的稳定性，可以参考我的github上的例子。 

https://github.com/qindongliang/Java-Note 


总结： 

经典的计数排序分四个阶段： 

1，找出数组里面的最大值和最小值 

2，求出每个元素出现的词频（count） 

3，遍历词频数组求和 

4，反向遍历原始数组，进行目标数组填充，填充后的数组再遍历就是有序的。 



如果不考虑算法的稳定性和负数情况及特定情况的浪费空间，那么只需要前面的2步就可以了，如果想要保证稳定性，那么需要经过这4步计算。具体证明计数排序的稳定性的例子，可以参考我的github上例子： 

https://github.com/qindongliang/Java-Note/blob/master/src/main/java/sort_algorithm/count_sort/ProveStableCountingSort.java 


计数排序在特定的情况下，排序效率极高，但是如果排序的计数空间范围过大，而实际元素个数非常小的情况，效率就会非常差，比如，我只有3个元素，3，1，500000，这样的情况其实是不适合用计数排序的，这一点需要注意。 

 

 

 

本文转自：http://qindongliang.iteye.com/blog/2431975