Prim算法
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2022-06-16 08:09:06
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prim算法
prim算法是图论中的一种算法,可在加权联通图里搜索最小生成树。
基本思想
首先介绍一下最小生成树(Minimum Spanning Trees 简称 MST):
假设定义一个图G=(V,E),其中G表示图,V表示定点集合,E表示边集合。最小生成树就是这样一棵树,它满足:
通俗的讲,就是使得图G联通时,所选取的边的长度最小
如上图,标红的路径就是最小生成树上的路径。
算法描述:
prim算法采用贪心策略:把点分成两个集合,**A**为已被处理(已经在最小生成树中)的顶点,**B**为待处理顶点。
每次操作都是选择min{w(u,v)|u∈A,v∈B},从而将v添加到A中,直到所有点都处理完为止。
上述过程即可生成MST,即证明:每次选择的A,B通过权重最小的边(u,v)相连,最终一定会得到MST。
现在假设不选择(u,v)而选择(u',v')而得到了更优的最小生成树(这里w(u,v) < w(u',v')),则证明通过这种选择方式选择出的树不是MST即可。
证明很简单,只需要将(u',v')去掉,补上(u,v)。这不影响A,B的连通性,这样会得到一个比上述假设更优的MST,因此上面的的假设不成立,从而推翻假设,证明prim算法具有最优子结构。
引用*的证明过程:
已知图G的边数量为numEdge, 顶点数量为numVert, prim生成的树为T0, 最小生成树(MST)为Tmin
则有,cost(Tmin)<=cost(T0)
设: T0 的 numVert-1 条边按照权重由小到大排列依次为:ek1, ek2, ek3, …, ekn
Tmin 的 numVert-1 条边按照权重由小到大排列依次为:eg1, eg2, eg3, …, egn
其中n=numVert-1
两棵树的边从小到大权重比较,设第一个属于 T0 但不属于 Tmin 的边为 ed1, 连接该边的两个顶点为(vs, ve1)
同时存在第一个属于 Tmin 但不属于 T0 的边为 ed2, 连接该边的两个顶点为 (vs, ve2)。
两个边的起点相同。由Prim算法性质可知,w(ed2) >= w(ed1)
此时,在 Tmin 中删除 ed2 ,添加 ed1,边的数量和顶点数量均不变,且不存在环,因此得到新的生
成树Tnew,且cost(Tmin)>=cost(Tnew)
又因为 Tmin 是MST 所以 cost(Tmin)=cost(Tnew)。
以此类推,cost(Tmin)=cost(T0)
T0是最小生成树, 得证.
模拟算法过程
伪代码及算法复杂度分析(引用自算法导论)
畅通工程:
继续畅通工程
Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 21871 Accepted Submission(s): 9356
Problem Description
省*“畅通工程”的目标是使全省任何两个村庄间都可以实现公路交通(但不一定有直接的公路相连,只要能间接通过公路可达即可)。现得到城镇道路统计表,表中列出了任意两城镇间修建道路的费用,以及该道路是否已经修通的状态。现请你编写程序,计算出全省畅通需要的最低成本。
Input
测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出村庄数目N ( 1< N < 100 );随后的 N(N-1)/2 行对应村庄间道路的成本及修建状态,每行给4个正整数,分别是两个村庄的编号(从1编号到N),此两村庄间道路的成本,以及修建状态:1表示已建,0表示未建。
当N为0时输入结束。
Output
每个测试用例的输出占一行,输出全省畅通需要的最低成本。
Sample Input
3 1 2 1 0 1 3 2 0 2 3 4 0 3 1 2 1 0 1 3 2 0 2 3 4 1 3 1 2 1 0 1 3 2 1 2 3 4 1 0
Sample Output
3 1 0
Author
ZJU
原题链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1879
代码实现
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int MAXN = 105;
const int INF = 1e9;
vector<pair<int,int> > pMap[MAXN];
int prim(int N);
int main(){
int N;
while(scanf("%d",&N) && N){
for(int i = 0; i < MAXN; i ++)
pMap[i].clear();
int M = N * (N - 1) /2 ;
int u,v,w,tag;
for(int i = 0; i < M; i ++){
scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&w,&tag);
if(tag){
pMap[u].push_back(make_pair(v,0));
pMap[v].push_back(make_pair(u,0));
}else{
pMap[u].push_back(make_pair(v,w));
pMap[v].push_back(make_pair(u,w));
}
}
cout << prim(N)<<endl;
}
return 0;
}
int prim(int N){
int nCost = 0;
// vector<int> pMST;
int pCost[MAXN];
// pMST.push_back(1);
pCost[1] = -1;
for(int i = 2; i <= N; i++){
pCost[i] = INF;
}
for(int i = 0; i < pMap[1].size(); i++){
pCost[pMap[1][i].first] = pMap[1][i].second;
}
for(int i = 1; i <= N - 1; i++){
int nVertex = 0, nWeight = INF;
for(int j = 1; j <= N; j++){
if(nWeight > pCost[j] && pCost[j] != -1){
nVertex = j;
nWeight = pCost[j];
}
}
pCost[nVertex] = -1;
// pMST.push_back(nVertex);
nCost += nWeight;
for(int j = 0; j < pMap[nVertex].size(); j++){
if(pCost[pMap[nVertex][j].first] != 0 &&
pCost[pMap[nVertex][j].first] > pMap[nVertex][j].second){
pCost[pMap[nVertex][j].first] = pMap[nVertex][j].second;
}
}
}
// cout << "MST Cost is " << nCost << endl;
// cout << "The vertexs in MST are ";
// for(int i = 0; i < pMST.size(); i++){
// cout << pMST[i] << " ";
// }
// cout << endl;
return nCost;
}
引用:
*
算法爱好者—prim算法及其高效实现