回文自动机

Palindrome auto machine

又称回文树，顾名思义，对于一个字符串的回文树来说，每个节点表示一个回文串。
例：abbabba
对应节点有：a,b,bb,bab,abba,bbabb
用于统计某字符串有多少个回文子串之类问题。

Q1 节点会不会很多？

考虑每添加一个字符对回文树节点个数的影响

如图所示，当添加c后，考虑以c为结尾最长的回文串A，假设A未在回文树中出现过，那么节点树+1，并且不存在比A短并且未在回文树中出现的情况，所以每加入一个字符最多添加n个节点，所以回文树节点数和字符串数等价。

Q2 怎么建树？

由于回文串分奇回文和偶回文，所以先建立两个根节点0 1
分别表示偶回文串的根节点和奇回文串的根节点。
所以转移函数就为

trans[i][c] = j 表示从i节点代表的回文子串两头拼接上相同的字符c, 变成了j节点代表的回文子串.

那么考虑增量转移，即对于第i个字符，怎么确定他是由当前回文树中那个节点转移得到的？
fail指针(和AC自动机类似的构造思想)，每个节点fail含义为，该节点代表的最长非自身回文后缀
定义last表示以i-1为结尾的最长回文后缀的节点，那么如果要找以i为后缀的最长回文后缀的节点就相当于不断找满足s[i-pam[last].len-1]==s[i]的过程，即

while(s[i-pam[u].len-1]^s[i]) u=pam[u].fail;

所以trans[u][s[i]] 就是我们要找的以i为后缀的最长回文后缀的节点
那么当这个节点没出现过时，我们就把这个节点加入回文树中，并且由于还要为接下来的字符建立fail指针，设z为当前节点，fa为z的父亲节点，那么

int w=getfail(i,pam[fa].fail);
pam[z].fail=pam[w].trans[c];

并且由于最长非自身回文后缀一定在回文树中出现过，所以不需要考虑pam[z].fail==0的情况(至于为什么，前面已经说过了)

这样我们只需不断添加字符，重复上述过程就能构造出一颗回文树了

Q3 建树后可以求什么？

1 求串S前缀1~i中本质不同回文串个数(tot-1)
2 求串S内每一个本质不同回文串出现次数
3 求串S内回文串个数
4 求以下标i结尾的回文串个数

Q4 怎么求？

定义一些变量：
len表示当前节点对应回文子串长度
num表示前pam节点(即读入s[i]之后,s[1,…,i]的最长回文后缀对应节点u)对应回文子串的所有不同回文后缀的个数（包括自身）
sz表示当前节点对应回文子串在主串中出现次数(需要处理完整个主串后倒着对failDP)

具体请看模板????

模板

const int SZ = 26;///字符集
const int maxn = 1e6 + 6;
struct PAM {
    struct PamNode{int fail,trans[SZ],sz,len,num;}pam[maxn];
    int tot;char s[maxn];
    void init() {
        tot=1;
        pam[0].fail=1;pam[0].len=0;
        pam[1].fail=1;pam[1].len=-1;
        memset(pam[0].trans,0,SZ*sizeof (int));
        memset(pam[1].trans,0,SZ*sizeof (int));
    }
    inline int newnode(int len) {
        tot++;
        memset(pam[tot].trans,0,SZ*sizeof (int));
        pam[tot].len=len;pam[tot].fail=0;
        pam[tot].sz=0;pam[tot].num=0;
        return tot;
    }
    inline int getfail(int i,int u) {
        while(s[i-pam[u].len-1]^s[i]) u=pam[u].fail;
        return u;
    }
    inline int append(int i,int u) {
        int c=s[i]-'a';
        int fa=getfail(i,u);
        u=pam[fa].trans[c];
        if(!u) {
            int z=newnode(pam[fa].len+2);
            int w=getfail(i,pam[fa].fail);
            pam[z].fail=pam[w].trans[c];
            u=pam[fa].trans[c]=z;///注意这里要后更新，否则上面getfail时可能导致死循环
            pam[z].num=pam[pam[z].fail].num+1;
/*还有一点我们可以指出, 这里属于z代表的回文子串第一次出现, 之前读入s[1,..,i-1]都是没有出现过该回文子串
的, 所以可以维护出每种回文子串第一次出现的索引.只是这里没做而已.
*/
        }
        pam[u].sz++;return u;
    }
    void calu() {
        for(int i=tot,fail;i>1;i--) {
            fail=pam[i].fail;
            pam[fail].sz+=pam[i].sz;
        }
    }
}pa;

例题：

P5496