数论--质因子分解

1. 题目来源：PAT 1059 Prime Factors

Given any positive integer N, you are supposed to find all of its prime factors, and write them in the format: $N = p_1^{k_1}*p_2^{k_2}*...*p_m^{k_m}$N=p1k1​​∗p2k2​​∗...∗pmkm​​.
​

Sample Input:
97532468
Sample Output:
97532468=2^211171011291

思路：

1. 考虑到$2*3*5*7*11*13*17*19*23*29$2∗3∗5∗7∗11∗13∗17∗19∗23∗29就已经超过了int范围，因此对一个int型范围的数来说，fac数组的大小只需要开到10就可以了。
2. 有一个结论：对于一个正整数n来说，如果它存在[2,n]范围内的质因子，那么这些质因子全部小于等于sqrt(n),要么只存在一个大于sqrt(n)的质因子，而其余质因子全部小于等于sqrt(n)。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 10010;
int prime[maxn];
int pNum; //素数的个数
bool isPrime(int n)
{
    if (n == 1)
    {
        return false;
    }
    int s = sqrt(n);
    for (int i = 2; i <= s; i++)
    {
        if (n % s == 0)
        {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

void Find_Prime() //求素数表
{
    for (int i = 2; i < maxn; i++)
    {
        if (isPrime(i) == true)
        {
            prime[pNum++] = i;
        }
    }
}

struct factor
{
    int x;   //质因子
    int cnt; //个数
} fac[10];   //对于int型范围来说，数组的大小开到10即可

int main()
{
    Find_Prime();
    int N;
    cin >> N;
    if (N == 1)
    {
        cout << "1=1" << endl;
    }
    else
    {
        int sqr = sqrt(N);
        int num = 0;
        cout << N << "=";
        for (int i = 0; i < pNum && prime[i] <= sqr; i++)
        {
            if (N % prime[i] == 0)
            {
                fac[num].x = i;
                fac[num].cnt = 0;
                while (N % prime[i] == 0)
                {
                    fac[num].x = prime[i];
                    fac[num].cnt++;
                    N /= prime[i];
                }
                num++;  //不同质因子个数加一
            }
            if (N == 1)
            {
                break;
            }
        }
        if (N > 1)  //如果无法被根号n以内的质因子除尽，那么一定有一个大于根号n的质因子
        {
            fac[num].x = N;
            fac[num].cnt = 1;
            num++;
        }
        for (int i = 0; i < num; i++)
        {
            if (i == num - 1)
            {
                if (fac[i].cnt > 1)
                {
                    cout << fac[i].x << "^" << fac[i].cnt << endl;
                }
                else
                {
                    cout << fac[i].x << endl;
                }
            }
            else
            {
                if (fac[i].cnt > 1)
                {
                    cout << fac[i].x << "^" << fac[i].cnt << "*";
                }
                else
                {
                    cout << fac[i].x << "*";
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}

2. 题目来源：codeup 问题C：质因数的个数

题目描述
求正整数N(N>1)的质因数的个数。
相同的质因数需要重复计算。如120=22235，共有5个质因数。
输入
可能有多组测试数据，每组测试数据的输入是一个正整数N，(1<N<10^9)。

输出
对于每组数据，输出N的质因数的个数。

样例输入
120
200
样例输出
5
5
提示

注意1不是N的质因数；若N为质数，N是N的质因数。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    while (cin >> n)
    {
        int num = 0;
        for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++)
        {
            while (n % i == 0)
            {
                num++;
                n /= i;
            }
            if (n == 1)  //及时退出循环，节省时间
            {
                break;
            }
        }
        if (n > 1)
        {
            num++;
        }
        cout << num << endl;
    }
    return 0;
}

3. 题目来源：codeup 约数的个数
   题目描述
   输入n个整数,依次输出每个数的约数的个数。

输入
输入的第一行为N，即数组的个数(N<=1000)
接下来的1行包括N个整数，其中每个数的范围为(1<=Num<=1000000000)
当N=0时输入结束。

输出
可能有多组输入数据，对于每组输入数据，
输出N行，其中每一行对应上面的一个数的约数的个数。

样例输入
6
1 4 6 8 10 12
0
样例输出
1
3
4
4
4
6

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 100010;
int prime[maxn];
bool vis[maxn] = {false};
int pNum; //素数的个数

void Find_Prime() //求素数表
{
    for (int i = 2; i < maxn; i++)
    {
        if (vis[i] == false)
        {
            prime[pNum++] = i;
            for (int j = i; j < maxn; j += i)
            {
                vis[j] = true;
            }
        }
    }
}

struct factor
{
    int x;   //质因子
    int cnt; //个数
} fac[10];   //对于int型范围来说，数组的大小开到10即可

int main()
{
    Find_Prime();
    int n;
    while (scanf("%d", &n) && n)
    {
        while (n--)
        {
            int x;
            scanf("%d", &x);
            int sqr = sqrt(x);
            int num = 0;
            for (int i = 0; i < pNum && prime[i] <= sqr; i++)
            {
                if (x % prime[i] == 0)
                {
                    fac[num].x = i;
                    fac[num].cnt = 0;
                    while (x % prime[i] == 0)
                    {
                        fac[num].x = prime[i];
                        fac[num].cnt++;
                        x /= prime[i];
                    }
                    num++; //不同质因子个数加一
                }
                if (x == 1)
                {
                    break;
                }
            }
            if (x > 1) //如果无法被根号n以内的质因子除尽，那么一定有一个大于根号n的质因子
            {
                fac[num].x = x;
                fac[num].cnt = 1;
                num++;
            }
            int sum = 1;
            for (int i = 0; i < num; i++)
            {
                sum *= (fac[i].cnt + 1);
            }
            printf("%d\n",sum);
        }
    }
    return 0;
}