01背包问题

01背包问题作为动态规划经典案例，经常会在面试中会被问，这里做个介绍。

问题描述：

定N个物品和一个背包。物品i的重量是W_i,其价值位P_i ，背包的容量为C。问应该如何选择装入背包的物品，使得转入背包的物品的总价值为最大，即：

在选择物品的时候，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入多次，也不能只装入物品的一部分。因此，该问题被称为0-1背包问题。

问题分析：令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数:

(1)   V(i,0)=V(0,j)=0 

(2)   V(i,j)=V(i-1,j)  j<w_i  

       V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-w_i)+p_i) } j>w_i

(2)式第一个表明：如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的，即物品i不能装入背包；第(2)个式子表明:如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有一下两种情况：(a)如果把第i个物品装入背包，则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-w_i 的背包中的价值加上第i个物品的价值v_i;(b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。显然，取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。

这里举例说明：

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

name	weight	value	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	2	6	0	6	6	9	9	12	12	15	15	15
b	2	3	0	3	3	6	6	9	9	9	10	11
c	6	5	0	0	0	6	6	6	6	6	10	11
d	5	4	0	0	0	6	6	6	6	6	10	10
e	4	6	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6

只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。

首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。

为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。

对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。

同理，c2=0，b2=3,a2=6。
代码：

int V[100][100];//V[i][j]表示前i个物品选择若干放入重为j的背包可以取得的最大价值
int zero_one_pack(int n,int w[],int p[],int x[],int c){
    int i,j;
    for(i=0;i<=n;i++)
	V[i][0]=0;
    for(j=0;j<=c;j++)
	V[0][j]=0;
    //初始化
    for(i=0;i<n;i++)
	for(j=0;j<=c;j++){
	    if(j<w[i])V[i][j]=V[i-1][j];
	    else{
		V[i][j]=max(V[i-1][j-w[i]]+p[i],V[i-1][j]);
	        }//放或者不放
	                 }
    j=c;
    for(i=n-1;i>=0;i--)
    {
    if(V[i][j]>V[i-1][j]){x[i]=1;j-j-w[i];}
    else x[i]=0;
    }
    cout<<"选中的物品:"<<endl;
    for(i=0;i<n;i++)
	cout<<x[i]<<" ";
    return V[n-1][c];
	
                                                     }