数据结构之优先队列——二叉堆

我们之前已经讲过好几种数据结构，其中讲到队列时我们说过队列经常用于打印机作业，此时打印机安排打印作业是按照作业加入打印机的先后顺序进行的。但这未必是最好的做法，例如，现有一项后来插入的特别重要的作业，需要优先打印，此时再按照“先来后到”的原则就不合适了，这种情况在日常生活和工作中十分多见，这时就需要用到今天我们讲的一种十分重要且常用的数据结构——优先队列。

简介

优先队列是允许至少两种操作的数据结构：$insert$insert(插入)等价于队列中的enqueue(入队)，$delete$delete(删除)等价于队列中的dequeue(出队)。不过与队列不同，优先队列中的数据不是按照被插入的先后顺序排序的，而是根据某种优先级进行排序(如大小值)，这样每次在对优先队列进行删除操作时，就可以保证删除的是队列中的最大或最小值。有很多方法可以实现优先队列，如使用链表，这种实现方法的插入花费高昂而删除花费低廉，适用于删除操作多于插入操作的情形。另一种实现的方法是使用二叉堆，它类似于AVL树，具有结构性和堆序性。下面我们对二叉堆（以下简称堆）的结构性和堆序性进行讲解并进行代码实现。

二叉堆的结构性

堆是一种树状结构，元素在各层中由左到右填入，实际上就是一棵完全二叉树。如下图。

由我们之前讲到二叉树所总结的可知，高$h$h的完全二叉树$2^h$2h到$2^h-1$2h−1个节点，所以完全二叉树的高是$[logN]$[logN]，这个性质非常适合高效率的排序(我们将在后续讲解堆排序)，除此之外，因为完全二叉树的规律，我们经常使用数组表示而不用传统的链。见下图。

元素	A	B	C	D	E	F	G	H	I
下标	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

对于数组表示而言，任意位置$i$i上的元素，其左儿子(若存在)在位置$2i$2i，其右儿子(若存在)在位置$(2i+1)$(2i+1)，其双亲在$[i/2]$[i/2]上。由此可知，采用数组表示时，其遍历操作十分简单。但有一个问题，堆的大小需要提前确定，否则一旦溢出就需要调整大小。

二叉堆的堆序性

堆序性是为了实现其快速查找的要求而产生的。为了快速查找出其最大值或最小值，其最大元素或最小元素应位于根部。并且其任意子树也应符合这个要求。应用此逻辑，在一个堆中，任意节点(根节点除外)$x$x，其双亲节点中元素应大于(小于)$x$x中元素。如下图左是一个小顶堆，而右图中6节点不符合小顶堆性质。

基本性质

$insert$insert(插入)和$delete$delete(删除)操作是任何堆都需要具有的操作，并且其操作需要实时保持其结构性和堆序性。

insert(插入)

插入元素$x$x时，我们需要先为堆分配一个节点并将此节点，也就是数组中尾元素的下一个位置。然后我们判断将$x$x插入这个节点时是否破坏堆序性，若不会则插入完成，否则将此其双亲节点中元素移至此节点中，并将此节点上移至双亲节点，继续判断，重复此过程直至$x$x可以放置其中。如下图，我们插入14，首先将14放入尾元素下一个位置，破坏其堆序性，将其节点上移至31节点，仍破坏继续上移，直至14放入21节点，插入成功。


我们通常将插入元素的操作称为上滤。

delete(删除)

删除操作要稍显复杂，删除时堆中元素少了一个，但从数组的角度看我们删除的是数组首元素，删除的数组可用位置确是尾元素位置，所以需要将尾元素上移，因为此时首元素也就是根节点元素被删除了，所以我们首先考虑根节点，若破坏了其堆序性，则将根节点的左右儿子中最小值上移至根节点，其最小儿子置空，继续判断，直至可以将尾元素插入至某一位置。如下图，我们删除堆中最小值，然后将根节点置空，尾元素31不可插入此位置，将根节点左儿子14置空，14上移至根节点，仍不可，继续操作…直至31插入至26节点。



我们将删除操作称为下滤。

代码实现

我们在上述的基础上实现一个小顶堆的类，为了解决上述需要提前确定数组容量大小的问题，我们采用容器$vector$vector，该类具有公有接口：$isEmpty$isEmpty(判断是否为空)；$insert$insert(插入)；$top$top(返回顶元素)；$deleteMin$deleteMin(删除最小元素)；
$makeEmpty$makeEmpty(清除)。

#pragma once
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <vector>
#define ERROR 34567890  //一个可能的数，用于错误返回
using namespace std;

template<typename comparable>
class BinaryHeap
{
public:
	BinaryHeap() { currentSize = array.size(); };
	BinaryHeap(const vector<comparable>& items);

	bool isEmpty() const;
	void insert(const comparable& x);
	comparable top() const;
	void deleteMin() ;
	void makeEmpty();
private:
	int currentSize;							//堆中元素个数
	vector<comparable> array;					//堆的数组
	void swap(comparable& x1, comparable& x2);
	bool isMinHeap(int position) const;
	int down_heap(int position);
};


template<typename comparable>
inline BinaryHeap<comparable>::BinaryHeap(const vector<comparable>& items)
{
	currentSize = 0;
	if (!items.empty())
	{
		vector<comparable>::const_iterator iter = items.begin();
		for (; iter != items.end(); iter++)
		{
			insert(*iter);
		}
	}
}

template<typename comparable>
inline bool BinaryHeap<comparable>::isEmpty() const
{
	if (currentSize == 0)
		return true;
	return false;
}

template<typename comparable>
inline void BinaryHeap<comparable>::insert(const comparable & x)
{
	array.push_back(x);
	int size = ++currentSize;
	if (size == 1)
		return;
	if (x >= array[size / 2 - 1])
		return;
	else
	{
		//size = size / 2;
		while ((size / 2) > 0 && array[size - 1] < array[size / 2 - 1])
		{
			swap(array[size - 1], array[size / 2 - 1]);
			size = size / 2;
		}
	}
}

template<typename comparable>
inline comparable BinaryHeap<comparable>::top() const
{
	if (isEmpty())
		return ERROR;
	return array[0];
}

template<typename comparable>
inline void BinaryHeap<comparable>::deleteMin()
{
	if (isEmpty())
		return;
	else if (currentSize == 1)
	{
		array.clear();
		currentSize = 0;
		return;
	}
	else
	{
		array[0] = array[currentSize - 1];
		array.pop_back();
		currentSize--;
		int size = 1;
		bool is = isMinHeap(size);
		while (!isMinHeap(size))
		{
			size = down_heap(size);
		}
	}
}

template<typename comparable>
inline void BinaryHeap<comparable>::makeEmpty()
{
	currentSize = 0;
	array.clear();
}

template<typename comparable>
inline void BinaryHeap<comparable>::swap(comparable& x1, comparable& x2)
{
	x1 ^= x2;
	x2 ^= x1;
	x1 ^= x2;
}

template<typename comparable>
inline bool BinaryHeap<comparable>::isMinHeap(int position) const
{
	if (currentSize >= position * 2 + 1)
	{
		if (array[position - 1] > array[position * 2 - 1] <= array[position * 2] ? array[position * 2 - 1] : array[position * 2])
			return false;
		return true;
	}
	else if (currentSize >= position * 2)
	{
		if (array[position - 1] > array[position * 2 - 1])
			return false;
		return true;
	}
	else
		return true;

}

template<typename comparable>
inline int BinaryHeap<comparable>::down_heap(int position)
{
	if (currentSize >= position * 2 + 1)
	{
		int size = array[position * 2 - 1] <= array[position * 2] ? position * 2 : position * 2 + 1;
		swap(array[position - 1], array[position * 2 - 1] <= array[position * 2] ? array[position * 2 - 1] : array[position * 2]);
		return size;
	}
	else
	{
		swap(array[position - 1], array[position * 2 - 1]);
		return position * 2;
	}
}

测试：

#pragma once
#include "BinaryHeap.h"
#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
	vector<int> vec = { 3,5,8,4,9 };
	BinaryHeap<int> heap(vec);
	cout << heap.top() <<endl;
	heap.insert(2);
	cout << heap.top() << endl;
	heap.deleteMin();
	cout << heap.top() << endl;
	getchar();
}

输出：

3
2
3

总结

堆是一种优先队列的实现，采用数组表示方法，可以实现常数时间的查找最小最大值操作。