卷积运算规则推导

一 目的：

    通过卷积公式推导出其离散信号的运算规则（一维数字信号，二维图像信号），了解算法在离散信号中的实现，为实现前人的研究成果或者阅读研究论文做准备。

 

二 卷积定义：

三 运算步骤分解：

 

1.    卷积分两部分运算，fg信号的乘法以及后续积分，不同于常规的函数，原信号fτ只能通过采样得知其值域adc和定义域t，而无法知道函数原型，也就是说一般是隐函数,且。

2.对于离散数字信号来讲，积分运算应该是相当简单的一个运算。

依据定积分的几何定义，其实就是在求上图所示的面积，在(-∞,a)和(b,+∞)内使用0进行信号延拓，采用小矩形去逼近不规则函数面积。

依据定积分的性质3可知：

对于离散信号而言，上式width=1, 则对应采样到的值。

即 ;也就是只要fx 值域确定，其积分即可使用值域累加

同理，在二维数字图像上可以使用单位长度的小长方体去逼近双重积分的体积

3.信号移位、反褶、相乘

相乘 会影响定义域和值域

假设信号定义域∈[0,10], 卷积核定义域∈[1,3]，由公式① 可知积分有效区间在[1,3]

移位

与图形对比，x+10意味着右移。

plt.plot(X,Y,color='red',label="f(x)")
plt.plot(X+10,Y,color='green',label="f(x+10)")

即随着n 从0变化到n 是不停的右移取值

反褶:意味着沿着对称轴旋转180度

plt.plot(X,Y,color='red',label="f(x)")
plt.plot(-X,Y,color='green',label="f(-x)")

4.综上 分析一下一维数字信号的卷积运算步骤及其意义：

5．一维信号与[1,2,1]的卷积波形

 

f(x)表示加了随机噪声的调制信号,可以看出卷积有平滑滤波作用,看成filter也没有问题。

6.卷积的意义：加权叠加。

y[0]=2*g[0]+g[1]
y[199]=2*g[199]+g[198]  
for i in range(1,199):
y[i]=g[i-1]+2*g[i]+g[i+1]

从代码上看，这是显然的，卷积算子代表的就是权重。

四 常用图像卷积算子：