9.1 数字三角形

方法	核心思想	遍历路线
动态规划	状态和状态转移方程	遍历最优子结构（全局最优解包含局部最优解）

9.1 数字三角形
问题：数字三角形问题。有一个由非负整数组成的三角形，第一行只有一个数，除了最下行 之外每个数的左下方和右下方各有一个数，如图9-1所示。从第一行的数开始，每次可以往左下或右下走一格，直到走到最下行，把沿途经过的数 全部加起来。如何走才能使得这个和尽量大？

先把三角形转化为相应的坐标

定义函数	定义状态
d(i,j)	从格子(i, j)出发到终点时能得到的最大和值 （包括a(i, j)本身的值）
a(i,j)	格子(i,j)里面的值

定义状态转移方程

d(i,j)=a(i,j)+max{d(i+1,j),d(i+1,j+1)}

得到状态和状态转移方程之后：
方法1：递归计算：

int solve(int i, int j)
{ 
return a[i][j] + (i == n ? 0 : max(solve(i＋1,j),solve(i＋1,j＋1))); 
}

方法2：递推计算（逆序枚举）：

int i, j; 
for(j = 1; j ＜= n; j＋＋) d[n][j] = a[n][j]; 
for(i = n－1; i ＞= 1; i——) 
   for(j = 1; j ＜= i; j＋＋) 
   d[i][j] = a[i][j] ＋ max(d[i＋1][j],d[i＋1][j＋1]);

方法3：记忆化搜索：

int solve(int i, int j)
{ 
if(d[i][j] ＞= 0) return d[i][j]; 
return d[i][j] = a[i][j] ＋ (i == n ? 0 : max(solve(i＋1,j),solve(i＋1,j＋1)));
}

优缺点比较：

方法	时间复杂度
递归计算	时间效率低（重复计算）
递推计算	O(n2)
记忆化搜索	O(n2)

递归计算的缺点：
solve(1, 1)对应的调用关系树。solve(3, 2)被计算了两次（一 次是solve(2, 1)需要的，一次是solve(2, 2)需要 的）。

记忆化搜索的优点：
在递归计算的基础上
首先用“memset(d,－1,sizeof(d));”把d全部初始化 为－1
然后加入代码：

if(d[i][j] ＞= 0) return d[i][j];

用于记忆判断格子（i,j）是否被计算过，从而避免重叠子问题导致重复计算