基于S-FFT的相息图

基于S-FFT的相息图**
光波是一种电磁波，它满足麦克斯韦方程组，将光波表示成球面波的形式，根据推导$[1-4]$[1−4]，可以获得标量场下光波的菲涅尔衍射积分的表达式如下
$U(x,y)=\frac{\exp(jkd)}{j \lambda d} \iint_{-\infty}^{\infty}U_0(x_0,y_0)\exp(\frac{jk}{2d}[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2])dxdy$U(x,y)=jλdexp(jkd)​∬−∞∞​U0​(x0​,y0​)exp(2djk​[(x−x0​)2+(y−y0​)2])dxdy (1)
上述式子中$x_0y_0,xy$x0​y0​,xy分别为衍射面和观察面的平面坐标系，$U_0(x,y)$U0​(x,y)为物平面函数，$k$k为波数，$\lambda$λ为光波波长。将上式改写为离散的傅里叶变换的形式为
$U(p\Delta x,q\Delta y) = \frac{\exp(jkd)}{j\lambda d}\exp[\frac{jk}{2d}(p\Delta x^2)+q\Delta y^2]\\\times \digamma[U_0(m\Delta x_0,n\Delta y_0)\times\exp(\frac{jk}{2d}(m\Delta x_0)^2,(n\Delta y_0)^2)]_{\frac{p\Delta x}{\lambda d},\frac{p\Delta y}{\lambda d}}$U(pΔx,qΔy)=jλdexp(jkd)​exp[2djk​(pΔx2)+qΔy2]×ϝ[U0​(mΔx0​,nΔy0​)×exp(2djk​(mΔx0​)2,(nΔy0​)2)]λdpΔx​,λdpΔy​​ (2)
其中$\digamma$ϝ表示傅里叶变换，设衍射平面尺寸为$L_0$L0​，观察平面为$L$L，采样数为$N$N，则两者的关系可以由下式表示
$L_0=\frac{N\lambda d}{L}$L0​=LNλd​ (3)
根据迭代的相关公式及知识，编写基于S-FFT的反复迭代相息图(MATLAB)程序具体如下：
% 功能： 调入一图像，用菲涅耳衍射的S-FFT计算形成
% 能够由空间光调制器LCOS显示图像的相息图
% 主要变量：
% h ——波长（mm）； Ih ——相息图；
% L ——SLM宽度（mm）； z0——记录相息
图的距离(mm)；
% 取衍射距离1200mm，显示比例1，迭代次数15次
%-------------------------------------------------------------
clear;
close all;
chemin=‘D:\我的资料库\Pictures\3D\figs’;%图片路径
[nom,chemin]=uigetfile([chemin,’.’],[‘调入模拟物体图像’],100,100);
[XRGB,MAP]=imread([chemin,nom]);%获取图像
figure,imshow(XRGB);
X0=rgb2gray(XRGB); %彩色图像转换为灰度图像
figure,imshow(X0,[]);
[M0,N0]=size(X0); %获取灰度图像的像素数大小
N1=min(M0,N0);
N=1080; %相息图取样数, 可按需要修改
m0=0.5 %图像在重建周期中的显示比例,
m0=input(‘图像在重建周期中的显示比例(0->1)’);
X1=imresize(X0,N/N1*m0);
[M1,N1]=size(X1);
X=zeros(N,N);
X(N/2-M1/2+1:N/2+M1/2,N/2-N1/2+1:N/2+N1/2)=X1(1:M1,1:N1);

h=0.532e-3; %波长(mm), 可按需要修改
k=2pi/h;
pix=0.0064; %SLM像素宽度(mm), 可按需要修改
L=Npix; %SLM宽度(mm)
z0=1200 %----衍射距离(mm),
z0=input(‘衍射距离(mm)’);
L0=h*z0/pix %重建像平面宽度(mm)

Y=double(X);
a=ones(N,N);
b=rand(N,N)2pi;
U0=Y.exp(i.b); %叠加随机相位噪声,形成振幅正比于图像的初始场复振幅
X0=abs(U0); %初始场振幅,后面叠代运算用
figstr=strcat(‘SLM平面宽度=’,num2str(L),‘mm’);
figstr0=strcat(‘初始物平面宽度=’,num2str(L0),‘mm’);
figure(1),imshow(X,[]),colormap(gray); xlabel(figstr);title(‘物平面图像’);
np=input(‘叠代次数’);
for p=1:np+1 %叠代次数
%---------------菲涅耳衍射的S-FFT计算开始
n=1:N;
x=-L0/2+L0/N(n-1);
y=x;
[yy,xx] = meshgrid(y,x);
Fresnel=exp(ik/2/z0*(xx.^2+yy.2));
f2=U0.Fresnel;
Uf=fft2(f2,N,N);
Uf=fftshift(Uf);
x=-L/2+L/N(n-1);%SLM宽度取样(mm)
y=x;
[yy,xx] = meshgrid(y,x);
phase=exp(ikz0)/(ihz0)exp(ik/2/z0*(xx.^2+yy.2));
Uf=Uf.phase;
%---------------菲涅耳衍射的S-FFT计算结束
figstr=strcat(‘SLM宽度=’,num2str(L),‘mm’);
figure(2),imshow(abs(Uf),[]),colormap(gray); xlabel(figstr);title(‘到达SLM平面的物光振幅分布’);
Phase=angle(Uf)+pi;
Ih=uint8(Phase/2/pi255);%形成0-255灰度级的相息图
figure(3),imshow(Phase,[]),colormap(gray); xlabel(figstr);title(‘相息图’);
%---------------菲涅耳衍射的S-IFFT计算开始
U0=cos(Phase-pi)+isin(Phase-pi);
n=1:N;
x=-L/2+L/N(n-1);
y=x;
[yy,xx] = meshgrid(y,x);
Fresnel=exp(-ik/2/z0(xx.^2+yy.2));
f2=U0.Fresnel;
Uf=ifft2(f2,N,N);
x=-L0/2+L0/N(n-1);%SLM宽度取样(mm)
y=x;
[yy,xx] = meshgrid(y,x);
phase=exp(-ikz0)/(-ihz0)exp(-ik/2/z0*(xx.^2+yy.2));
Uf=Uf.phase;
figure(4),imshow(abs(Uf),[]),colormap(gray); xlabel(figstr0);title(‘逆运算重建的物平面振幅分布’);
%---------------保持相位不变，引用原图振幅，重新开始新一轮计算
Phase=angle(Uf);
U0=X0.(cos(Phase)+i*sin(Phase));
end;

figure(5),imshow(Ih,[]),colormap(gray); xlabel(figstr);title(‘相息图’);

参考书目
[1] 古德曼 ，傅里叶光学导论[M]，北京：电子工业出版社，2006，第3版
[2]李俊昌，衍射计算及数字全息[M]，北京：科学出版社，2014
[3] 钱晓凡，信息光学数字实验室[M]，北京：科学出版社，2014
[4]陈家壁，苏显渝.光学信息技术原理及应用[M].北京：高等教育出版社，2001