多元线性回归分析-Python&SPSS

原始数据在这里

1.观察数据

首先，用Pandas打开数据，并进行观察。

import numpy 
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

data = pd.read_csv('Folds5x2_pp.csv')
data.head() 

会看到数据如下所示：

这份数据代表了一个循环发电厂，每个数据有5列，分别是:AT（温度）, V（压力）, AP（湿度）, RH（压强）, PE（输出电力)。我们不用纠结于每项具体的意思。

我们的问题是得到一个线性的关系，对应PE是样本输出，而AT/V/AP/RH这4个是样本特征， 机器学习的目的就是得到一个线性回归模型，即: PE=θ0+θ1∗AT+θ2∗V+θ3∗AP+θ4∗RH 而需要学习的，就是θ0,θ1,θ2,θ3,θ4这5个参数。

接下来对数据进行归一化处理：

data = (data - data.mean())/data.std()

因为回归线的截距θ0是不受样本特征影响的，因此我们在此可以设立一个X0=1，使得回归模型为：

PE=θ0*X0+θ1∗AT+θ2∗V+θ3∗AP+θ4∗RH

将方程向量化可得：

PE = hθ(x) = θx (θ应转置)

2.线性回归

在线性回归中，首先应建立 cost function，当 cost function 的值最小时所取得θ值为所求的θ。

在线性回归中，Cost function如下所示：

因此，可以在Python中建立函数求损失方程：

def CostFunction(X,y,theta):
    inner = np.power((X*theta.T)-y,2)
    return np.sum(inner)/(2*len(X))

然后，设初始θ为=[0,0,0,0,0],可得到最初的J(θ)值为0.49994774247491858，代码如下所示

col = data.shape[1]
X = data.iloc[:,0:col-1]
y = data.iloc[:,col-1:col]
X = np.matrix(X.values)
y = np.matrix(y.values)
theta = np.matrix(np.array([0,0,0,0,0]))
temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape))

CostFunction(X,y,theta)

接下来，有两种方法可以使用。1.梯度下降法（gradient descent）和 2.最小二乘法（normal equation）。在此我们使用梯度下降法来求解。

梯度下降法是求得J对θ的偏导数，通过设置步长，迭代使J(θ)逐步下降，从而求得局部最优解。公式如下所示：

j：特征编号

m:样本编号

我们可以在Python中写出计算迭代后的θ和J(θ)

def gradientDescent(X,y,theta,alpha,iters):
    temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape))
    parameters = int(theta.ravel().shape[1])
    cost = np.zeros(iters)
    for i in range(iters):
        error = (X*theta.T)-y
        
        for j in range(parameters):
            term = np.multiply(error,X[:,j])
            temp[0,j] = theta[0,j] - (alpha/len(X))*np.sum(term)
            
        theta = temp
        cost[i] = CostFunction(X,y,theta)
        
    return theta,cost

在此，我设置初始的α为0.1，可求得迭代1000次后θ0,θ1,θ2,θ3,θ4的值分别是：

 -5.22080706e-14,-8.63485491e-01,-1.74182863e-01,2.16058120e-02,-1.35205248e-01

此时 J(θ)的值为0.0379648。

通过，可视化J(θ)和迭代次数可以发现，J(θ)收敛的非常快。

画图观察预测值和损失值，距离直线约近说明损失越小：

predicted = X*g.T
predicted = predicted.flatten().A[0]
y_f= y.flatten().A[0]

fig, ax = plt.subplots()
ax.scatter(y_f,predicted)
ax.plot([y.min(), y.max()], [y.min(), y.max()], 'k--', lw=4)
ax.set_xlabel('Measured')
ax.set_ylabel('Predicted')
plt.show()

3.sckit-learn

因为J(θ)收敛的太快了…所以我又用sckit-learn和SPSS验证了一下。

先看sckit-learn，在sklearn中，线性回归是使用的最小二乘法而不是梯度下降法，用起来也十分的简单。

代码如下：

from sklearn import linear_model  
model = linear_model.LinearRegression()  
model.fit(X, y)  

打印出θ值后发现和梯度下降法算出来的相差无几，θ0,θ1,θ2,θ3,θ4的值分别是：

0，-0.86350078，-0.17417154，0.02160293，-0.13521023

4.SPSS

在看看SPSS

同样先将数据标准化后进行线

  然后进行线性回归分析得到结果：

嘛…和前面两种方法的结果也差不多…就这样吧。