损失函数总结

1.什么是损失函数
损失函数（loss function）是用来估量模型的预测值f(x)与真实值Y的不一致程度，它是一个非负实值函数,通常使用L(Y, f(x))来表示，损失函数越小，模型认为性能就越好。


2.损失函数，代价函数和目标函数的区别
损失函数：计算的是一个样本的误差

代价函数：是整个训练集上所有样本误差的平均

目标函数：代价函数 + 正则化项

目标函数公式：



3.损失函数种类及适用场景
3.1 0-1损失函数
0-1损失是指，预测值和目标值不相等为1，否则为0：



感知机就是用的这种损失函数。但是由于相等这个条件太过严格，因此我们可以放宽条件，即满足 |Y−f(X)|<T|Y−f(X)|<T 时认为相等。





3.2 log损失
在逻辑回归的推导中，它假设样本服从伯努利分布（0-1）分布，然后求得满足该分布的似然函数，接着用对数求极值。逻辑斯特回归并没有求对数似然函数的最大值，而是把极大化当做一个思想，进而推导它的风险函数为最小化的负的似然函数。从损失函数的角度上，它就成为了log损失函数。
log损失函数的标准形式：



损失函数L(Y, P(Y|X))表达的是样本X在分类Y的情况下，使概率P(Y|X)达到最大值（换言之，就是利用已知的样本分布，找到最有可能（即最大概率）导致这种分布的参数值；或者说什么样的参数才能使我们观测到目前这组数据的概率最大）。因为log函数是单调递增的，所以logP(Y|X)也会达到最大值，因此在前面加上负号之后，最大化P(Y|X)就等价于最小化L了。

逻辑回归的P(Y=y|x)表达式如下（为了将类别标签y统一为1和0，下面将表达式分开表示）：



将它带入到上式，通过推导可以得到logistic的损失函数表达式，如下：



逻辑回归最后得到的目标式子如下：



3.3 平方损失函数（最小二乘法, Ordinary Least Squares ）
在线性回归中，它假设样本和噪声都服从高斯分布（为什么假设成高斯分布呢？其实这里隐藏了一个小知识点，就是中心极限定理。最小二乘的基本原则是：最优拟合直线应该是使各点到回归直线的距离和最小的直线，即平方和最小。换言之，OLS是基于距离的，而这个距离就是我们用的最多的欧几里得距离。为什么它会选择使用欧式距离作为误差度量呢（即Mean squared error， MSE），主要有以下几个原因：

简单，计算方便；
欧氏距离是一种很好的相似性度量标准；
在不同的表示域变换后特征性质不变。



当样本个数为n时，此时的代价函数变为：



Y-f(X)表示的是残差，整个式子表示的是残差的平方和，而我们的目的就是最小化这个目标函数值（注：该式子未加入正则项），也就是最小化残差的平方和（residual sum of squares，RSS）。

而在实际应用中，通常会使用均方差（MSE）作为一项衡量指标，公式如下：




3.4 指数损失函数（Adaboost）
学过Adaboost算法的人都知道，它是前向分步加法算法的特例，是一个加和模型，损失函数就是指数函数。指数损失函数(exp-loss）的标准形式如下





可以看出，Adaboost的目标式子就是指数损失，在给定n个样本的情况下，Adaboost的损失函数为：





3.5 Hinge损失函数
在机器学习算法中，hinge损失函数和SVM是息息相关的。在线性支持向量机中，最优化问题可以等价于下列



Hinge 损失函数的标准形式





3.6 绝对值损失函数





4.总结

不同的算法使用的损失函数不一样，要根据相应模型来选择损失函数。




参考资料：
http://www.csuldw.com/2016/03/26/2016-03-26-loss-function/
https://blog.csdn.net/weixin_37933986/article/details/68488339