欢迎您访问程序员文章站本站旨在为大家提供分享程序员计算机编程知识!
您现在的位置是: 首页

FFT (快速傅里叶变换)

程序员文章站 2022-05-22 19:20:09
...

FFT


FFT

FFT的全称是 Fast Fourier Transform 即快速傅里叶变换

傅里叶变换是复变函数的重要内容,傅里叶变换分为离散和连续傅里叶变换
傅里叶变换实现从时域到频域的转换,是信号与系统重要的分析工具

连续傅里叶变换

FFT (快速傅里叶变换)

离散傅里叶变换(DFT discrete Fourier transform)

将离散的序列值进行频域到时域的转换,就叫做离散傅里叶变换
如果有

x(n)={xN(n)0<=n<=N10n

离散傅里叶变换DFT
X(k)=DFT[x(n)]=n=0n=N1x(n)WNkn(WN=ej2π/N)

即是 X(k)=x0+x1(WNk)1+x2(WNk)2+...+xN1(WNk)N1
离散傅里叶逆变换IDFT
x(n)=IDFT[X(k)]=1Nn=0k=N1X(k)WNkn

DFT 矩阵形式

FFT (快速傅里叶变换)

FFT

FFT 不是一种新的变换,只是DFT的快速实现的一种方法!!
FFT 要求N=2k,所以不足2的幂次数的要补零

已知

  1. WN2k=ej2πN2k=ej2πN/2k=WN/2k(1)
  2. WNk+N/2=ej2πN(k+N/2)=ej2πN(k)(2)

FFT 具体方法

X(k)=x0+x1(WNk)1+x2(WNk)2+...+xN1(WNk)N1
进行奇偶分离 X(k)=x0+x2(WNk)2+xN2(WNk)N2+x1(WNk)1+x3(WNk)3++xN1(WNk)N1

=x0+x2(WN/2k)1+...+xN2(WN/2k)N/21
+Wk(x1+x3(WN/2k)+1xN1(WN/2k)N/21)

A0(x)=x0+x2(x)1+...+xN2(x)N/21

A1(x)=x1+x3(x)+1xN1(x)N/21

X(k)=A0(WN/2k)+WkA1(WN/2k)(3)

同理得

X(k+N/2)=A0(WN/2k)WkA1(WN/2k)(4)

于是现在从求
X(0),X(1),...,X(N1)

变成了求
A0(0),A0(1),...,A0(N/21)

A1(0),A1(1),...,A1(N/21)

这样利用分治的思想,复杂度是nlog(n)
递归实现比较麻烦,而且需要额外申请空间,就不再详细介绍了,所以一般采用bit反转来实现
递归分组的时候
x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)_
x(0)x(2)x(4)x(6)_|x(1)x(3)x(5)x(7)_
x(0)x(4)_|x(2)x(6)_|x(1)x(5)_|x(3)x(7)_

发现规律
FFT (快速傅里叶变换)

FFT 算法步骤
  1. bit反转
  2. 分治
  3. 合并

IDFT 的时候只需要把W换成 W1 就ok了

下面是模板

模板

// 刘汝佳的板子 调用的时候直接 v1*v2 就行了, v1 和 v2 的类型是vector<double>
// 也可以自己修改 

#include <bits/stdc++.h>
#define mem(ar,num) memset(ar,num,sizeof(ar))
#define me(ar) memset(ar,0,sizeof(ar))
#define lowbit(x) (x&(-x))
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
const int    prime = 999983;
const int    INF = 0x7FFFFFFF;
const LL     INFF =0x7FFFFFFFFFFFFFFF;
//const double pi = acos(-1.0);
const double inf = 1e18;
const double eps = 1e-6;
const LL     mod = 1e9 + 7;
int dr[2][4] = {1,-1,0,0,0,0,-1,1};
// UVa12298 Super Poker II
// Rujia Liu

const long double PI = acos(0.0) * 2.0;

typedef complex<double> CD;

// Cooley-Tukey的FFT算法,迭代实现。inverse = false时计算逆FFT
inline void FFT(vector<CD> &a, bool inverse) {
  int n = a.size();
  // 原地快速bit reversal
  for(int i = 0, j = 0; i < n; i++) {
    if(j > i) swap(a[i], a[j]);
    int k = n;
    while(j & (k >>= 1)) j &= ~k;
    j |= k;
  }

  double pi = inverse ? -PI : PI;
  for(int step = 1; step < n; step <<= 1) {
    // 把每相邻两个“step点DFT”通过一系列蝴蝶操作合并为一个“2*step点DFT”
    double alpha = pi / step;
    // 为求高效,我们并不是依次执行各个完整的DFT合并,而是枚举下标k
    // 对于一个下标k,执行所有DFT合并中该下标对应的蝴蝶操作,即通过E[k]和O[k]计算X[k]
    // 蝴蝶操作参考:http://en.wikipedia.org/wiki/Butterfly_diagram
    for(int k = 0; k < step; k++) {
      // 计算omega^k. 这个方法效率低,但如果用每次乘omega的方法递推会有精度问题。
      // 有更快更精确的递推方法,为了清晰起见这里略去
      CD omegak = exp(CD(0, alpha*k)); 
      for(int Ek = k; Ek < n; Ek += step << 1) { // Ek是某次DFT合并中E[k]在原始序列中的下标
        int Ok = Ek + step; // Ok是该DFT合并中O[k]在原始序列中的下标
        CD t = omegak * a[Ok]; // 蝴蝶操作:x1 * omega^k
        a[Ok] = a[Ek] - t;  // 蝴蝶操作:y1 = x0 - t
        a[Ek] += t;         // 蝴蝶操作:y0 = x0 + t
      }
    }
  }

  if(inverse)
    for(int i = 0; i < n; i++) a[i] /= n;
}

// 用FFT实现的快速多项式乘法
inline vector<double> operator * (const vector<double>& v1, const vector<double>& v2) {
  int s1 = v1.size(), s2 = v2.size(), S = 2;
  while(S < s1 + s2) S <<= 1;
  vector<CD> a(S,0), b(S,0); // 把FFT的输入长度补成2的幂,不小于v1和v2的长度之和
  for(int i = 0; i < s1; i++) a[i] = v1[i];
  FFT(a, false);
  for(int i = 0; i < s2; i++) b[i] = v2[i];
  FFT(b, false);
  for(int i = 0; i < S; i++) a[i] *= b[i];
  FFT(a, true);
  vector<double> res(s1 + s2 - 1);
  for(int i = 0; i < s1 + s2 - 1; i++) res[i] = a[i].real(); // 虚部均为0
  return res;
}



//kuangbin 的板子,需要一些处理才能用
// 1 首先补成2^n 的形式,然后传入复数
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
using namespace std;

const double PI = acos(-1.0);
struct complex
{
    double r,i;
    complex(double _r = 0,double _i = 0)
    {
        r = _r; i = _i;
    }
    complex operator +(const complex &b)
    {
        return complex(r+b.r,i+b.i);
    }
    complex operator -(const complex &b)
    {
        return complex(r-b.r,i-b.i);
    }
    complex operator *(const complex &b)
    {
        return complex(r*b.r-i*b.i,r*b.i+i*b.r);
    }
};
void change(complex y[],int len)
{
    int i,j,k;
    for(i = 1, j = len/2;i < len-1;i++)
    {
        if(i < j)swap(y[i],y[j]);
        k = len/2;
        while( j >= k)
        {
            j -= k;
            k /= 2;
        }
        if(j < k)j += k;
    }
}
void fft(complex y[],int len,int on)
{
    change(y,len);
    for(int h = 2;h <= len;h <<= 1)
    {
        complex wn(cos(-on*2*PI/h),sin(-on*2*PI/h));
        for(int j = 0;j < len;j += h)
        {
            complex w(1,0);
            for(int k = j;k < j+h/2;k++)
            {
                complex u = y[k];
                complex t = w*y[k+h/2];
                y[k] = u+t;
                y[k+h/2] = u-t;
                w = w*wn;
            }
        }
    }
    if(on == -1)
        for(int i = 0;i < len;i++)
            y[i].r /= len;
}

const int MAXN = 400040;
complex x1[MAXN];
int a[MAXN/4];
long long num[MAXN];//100000*100000会超int
long long sum[MAXN];

int main()
{
    int T;
    int n;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        memset(num,0,sizeof(num));
        for(int i = 0;i < n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            num[a[i]]++;
        }
        sort(a,a+n);
        int len1 = a[n-1]+1;
        int len = 1;
        while( len < 2*len1 )len <<= 1;
        for(int i = 0;i < len1;i++)
            x1[i] = complex(num[i],0);
        for(int i = len1;i < len;i++)
            x1[i] = complex(0,0);
        fft(x1,len,1);
        for(int i = 0;i < len;i++)
            x1[i] = x1[i]*x1[i];
        fft(x1,len,-1);
        for(int i = 0;i < len;i++)
            num[i] = (long long)(x1[i].r+0.5);
        len = 2*a[n-1];
        //减掉取两个相同的组合
        for(int i = 0;i < n;i++)
            num[a[i]+a[i]]--;
        //选择的无序,除以2
        for(int i = 1;i <= len;i++)
        {
            num[i]/=2;
        }
        sum[0] = 0;
        for(int i = 1;i <= len;i++)
            sum[i] = sum[i-1]+num[i];
        long long cnt = 0;
        for(int i = 0;i < n;i++)
        {
            cnt += sum[len]-sum[a[i]];
            //减掉一个取大,一个取小的
            cnt -= (long long)(n-1-i)*i;
            //减掉一个取本身,另外一个取其它
            cnt -= (n-1);
            //减掉大于它的取两个的组合
            cnt -= (long long)(n-1-i)*(n-i-2)/2;
        }
        //总数
        long long tot = (long long)n*(n-1)*(n-2)/6;
        printf("%.7lf\n",(double)cnt/tot);
    }
    return 0;
}

“`

#### FFT 题目总结
1. 模板题
2 Emma and sum of products(简单模板题)

3 Another Fibonacci (建议配合题解食用较好)
4 D. Fuzzy Search
5. Rock Paper Scissors Lizard Spock.(FFT与字符串匹配模板题)
6. D - Rock Paper Scissors (FFT 与字符串)

相关标签: FFT