动态规划算法

数据结构整理目录>>>

基本介绍

基本步骤

1. 动态规划（Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步取得最优解的处理算法
2. 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解
3. 与分治法不同的是，适用于动态规划求解得到的问题，经分解得到的子问题 往往不是相互独立的。（即下一个阶段的求解是建立在上一个阶段的解的基础上，进行进一步求解）
4. 动态规划问题可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解

实际案例-背包问题

思路分析

每次遍历到第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v[i],w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[ i] [ j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值，则我们有下面的结果:

1. v[i] [0]=v[0] [j] =0 //表示填入表第一行和第一列是0（把i个商品装入到0磅背包中，把0个商品装入到j磅背包中的价值 均为0)

2. 当w[i]>j时；v[i] [j] = v[i-1] [j] //当准备新增商品的容量大于当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略

3. 当j>=w[i]时；v[i] [j] = max{v[i-1] [j],v[i-1] [j-w[i]]+v[i]} //当准备加入的新增的商品的容量小于当前背包的容量；

   装入的策略： v[i-1] [j] 上一个单元格的装入最大值

   ​ v[i]表示当前商品的价值

   ​ v[i-1] [j-w[i]] 表示 （装入i-1个商品到剩余空间j-w[i](把当前商品扣除之后的一个子问题）的最大值（使用到递归思想）

代码

package L十大算法.Dynamic;

/**
 * @Author Zhou  jian
 * @Date 2020 ${month}  2020/1/14 0014  15:19
 * 背包问题
 */
public class KnapsackProblem {

    public static void main(String[] args) {

        int[]  w = {1,4,3};//物品的重量
        int[]  val ={1500,3000,2000};//物品的价值。这里de val[i]就是v[i]
        int m = 4;//背包的容量
        int n = val.length;//物品的个数

        //创建二维数组
        //v[i][j]:在前一个
        int[][]  v = new int[n+1][m+1]; //因为有一行为0，一列为0

        //为了记录放入商品的情况，我们定义一个二维数组
        int[][] path = new int[n+1][m+1];

        //初始化第一行和第一列，在本程序中，可以不处理
        for(int i=0;i<v.length;i++){
            v[i][0]=0;//将第一列设置为0
        }
        for(int i=0;i<v[0].length;i++){
            v[0][i]=0;//将第一行设置为0
        }

        //输出v
        for(int i=0;i<v.length;i++){
            for (int j=0;j<v[i].length;j++){
                System.out.print(v[i][j]+" ");
            }
            System.out.println();
        }

        //根据前面得到的公式进行动态规划处理
        for(int i=1;i<v.length;i++){//不处理第一行
            for(int j=1;j<v[0].length;j++){//不处理第一列
                //公式//因为我们的程序 i是从1开始的 因此原来公式中的w[i]要修改成w[i-1]
                if(w[i-1]>j){
                    v[i][j] = v[i-1][j];
                }else{
                    //v[i] [j] = max{v[i-1] [j],v[i-1] [j-w[i]]+v[i]}
                    //说明我们的i是从1开始的所以公式需要调整成
//                    v[i][j]= Math.max(v[i-1][j],val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);

                    //为了记录商品存放到背包的情况，我们不能简单的使用上面的公式，需要使用if...elese来体现公式
                    if(v[i-1][j]>=val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]){
                        v[i][j]=v[i-1][j];
                    }else{
                        v[i][j]=val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]];
                        //把当前情况记录
                        path[i][j]=1;
                    }
                }

            }
        }

        //输出v
        for(int i=0;i<v.length;i++){
            for (int j=0;j<v[i].length;j++){
                System.out.print(v[i][j]+" ");
            }
            System.out.println();
        }

        //输出最后我们放入哪些商品
        //遍历path，这样输出会把所有的放入情况都得到，其实我们需要最后放入
//        for(int i=0;i<path.length;i++){
//            for(int j=0;j<path[i].length;j++){
//                if(path[i][j]==1)
//                System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n",i);
//            }
//        }



        int i = path.length-1;//行的最大下标
        int j = path[0].length-1;//列的最大下标
        while(i>0 && j>0){  //从path的最后开始找
            if(path[i][j]==1){
                System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n",i);
                j -=w[i-1];
            }
            i--;
        }


    }

}