背包问题

题目描述：
给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例 1:
输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出: 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

递归解法

   public static int coins1(int[] arr, int aim){
        if(arr == null || arr.length == 0 || aim < 0){
            return 0;
        }
        return process(arr, 0, aim);
    }

    public static int process(int[] arr, int index, int aim){
        int res = 0;
        if(index == arr.length){
            res = aim == 0 ? 1 : 0;
        }else {
            for (int i = 0; arr[index] * i <= aim; i++){
                res += process(arr, index + 1, aim - arr[index] * i);
            }
        }
        return res;
    }

动态规划

    public static int coins2(int[] arr, int aim){
        if(arr == null || arr.length == 0 || aim < 0){
            return 0;
        }
        int[][] dp = new int[arr.length][aim + 1];
        //dp[][0]第一列的位置表示，aim = 0时，方法数为1
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        //dp[0][]表示只能用arr[index]这个货币的情况下，组成钱的方法数
        for (int j = 1; arr[0] * j <= aim; j++){
            dp[0][arr[0] * j] = 1;
        }
        int num = 0;
        for (int i = 1; i < arr.length; i++){
            for (int j = 1; j <= aim; j++){
                num = 0;
                for (int k = 0; j - k * arr[i] >= 0; k++){
                    num += dp[i - 1][j - arr[i] * k];
                }
                dp[i][j] = num;
            }
        }
        return dp[arr.length - 1][aim];
    }

dp[i][j]含义：在使用arr[0 ... i]的情况下，组成钱数j有多少种方法

• 第一列dp[...][0] = 1表示组成钱数为0的方法数，只有一种：不使用任何货币。
• 第一行dp[0][...]表示只使用arr[0]这一种货币的情况下，组成钱的方法数。若arr[0] = 2，组成0，2，4，…。dp[0][k * arr[0]] = 1
• 除第一行第一列，dp[i][j]是以下几个值得累加
  • 完全不用arr[i]，只用arr[0 ... i - 1]时，方法数为dp[i - 1][j]
  • 用1张arr[i]，剩下钱用arr[0 ... i - 1]时，方法数为dp[i - 1][j - 1 * arr[i]]
  • 用2张arr[i]，剩下钱用arr[0 ... i - 1]时，方法数为dp[i - 1][j - 2 * arr[i]]
  • …
  • 用k张arr[i]，剩下钱用arr[0 ... i - 1]时，方法数为dp[i - 1][j - k * arr[i]]
    要求：[j - k * arr[i]] ≥ 0
• dp[N - 1][aim]为最终结果